Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Детальный вид закона дисперсии нормальных мод со„(к) можно определить из экспериментов, в которых осуществляется обмен энергией между колебаниями решетки и падающими па кристалл частицами или излучением. Наибольшую информацию дает изучение рассеяния нейтронов. Энергию, теряемую (или приобретаемую) нейтроном за счет взаимодействия с кристаллом, можно считать связанной с испусканием (или поглощением) фононов; измеряя углы выхода и энергию рассеянных нейтронов, удается получить непосредственную информацию о фононном спектре. Аналогичную информацию можно получить из экспериментов по рассеянию электромагнитного излучения, причем наиболее важную роль играет рассеяние рентгеновских лучей и видимого света.
В широком смысле слова общие принципы, лежащие в основе таких экспериментов, во многом одинаковы, независимо от того, какие падающие частицы используются — нейтроны или фотоны, однако информация, получаемая из экспериментов с фотонами, обычно более ограничена по своему содержанию и более трудна для интерпретации. С другой стороны, электромагнитные методы исследования (в особенности рентгеновский апализ) имеют решающее значение при изучении тех твердых тел, для которых не удается провести исследование методом рассеяния нейтронов. Одним из примеров г) служит твердый гелий-3, в котором нейтронная спектроскопия невозможна из-за очень большого поперечного сечения процесса захвата нейтрона ядром гелия-3.
Исследования рассеяния нейтронов и фотонов представляют собой различные способы анализа фононного спектра главным образом из-за того, что они характеризуются совершенно разными соотношениями между энергией и импульсом:
Нейтроны: Еп =
2Мп • /24Л)
М„ = 1838,65т.== 1,67.Ю-24 г, Фотоны: Еу = рс, ,
с = 2,99792.1010 см/с.
*) Более тонким примером служит ванадий, у которого естественная распространенность изотопов как будто специально так численно согласована с изотопной зависимостью амплитуды рассеяния, что в результате почти полностью теряется несущая информацию (так называемая когерентная) компонента рассеяния. Комбинацию амплитуд рассеяния можно изменить путем изотопного обогащения.
98
Глава 24
/ 10г 10 ц 10s 10s к, см"'
Фиг. 24.1. Соотношения между энергией и импульсом для нейтрона (п) и фотона (у). При h = 10" см-1 эти энергии составляют Еп = 2,07- 102п-19 эВ и Е^, = 1,97- lQn-5 эв. Типичные тепловые энергии лежат р заштрихованной полосе или вблизи нее.
В диапазоне энергий, представляющих интерес для измерений фононного спектра, эти два соотношения между энергией и импульсом сильно отличаются друг от друга (фиг. 24.1). Однако та часть общего рассмотрения, в которой не используется конкретный вид зависимости Е от р, во многом совпадает для обоих случаев. Поэтому, хотя мы начинаем с обсуждения рассеяния нейтронов, позднее мы сможем применить к случаю фотонов те из результатов проведенного рассмотрения, которые не зависят от конкретной формы (24.1) соотношения между энергией и импульсом для нейтронов.
РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛОМ
Рассмотрим падающий на кристалл нейтрон с импульсом р и энергией Е = р2/2Мп. Поскольку нейтрон в кристалле сильно взаимодействует лишь с атомными ядрами х), он без труда входит в кристалл 2), а затем выходит из него с новым импульсом р' и энергией Е' = р'2/2Мп.
*) Нейтрон не имеет электрического заряда, поэтому он взаимодействует с электронами лишь за счет относительно слабой связи его магнитного момента с магнитным моментом электронов. Это обстоятельство имеет существенное значение при изучении магнитоупорядочен-ных твердых тел (гл. 33), но не важно при определении фононных спектров.
2) Типичные радиусы ядер имеют порядок 10~13 см, а типичные межъядерные расстояния в твердом теле— порядок Ю-8 см. Следовательно, ядра занимают лишь 10~15 часть полного объема твердого тела.
Экспериментальное определение фононного спектра
99
Будем считать, что ионы в кристалле хорошо описываются гармоническим приближением. Позднее мы укажем, как следует изменить наши выводы с учетом имеющихся всегда ангармонических членов во взаимодействии между ионами. Предположим, что в начале эксперимента кристалл находится в состоянии с фононными числами заполнения') п^, а после эксперимента в результате взаимодействия с нейтроном кристалл оказывается в состоянии с числами заполнения п'^. В силу сохранения энергии должно выполняться соотношение
Е' — Ева — 2 Йсй*,Ли*„ Апъ, = п'кв — пк5, (24.3)
кг
т. е. изменение энергии нейтрона должно быть равно энергии фононов, которые были поглощены им при прохождении через кристалл, минус энергия фононов, которые были им испущены 2).
Таким образом, величина изменения энергии нейтрона при прохождении через кристалл содержит определенную информацию о фононных частотах. Чтобы извлечь эту информацию из данных по рассеянию, нужен второй закон сохранения. Этот второй закон известен как закон сохранения кеааиимпулъса. Он является очень общим следствием симметрии нейтрон-ионного взаимодействия:
Яп^-2ю(г-К-о(К)). (24.4)
Здесь ю — (очень короткодействующий) потенциал взаимодействия между нейтроном и атомным ядром в кристалле, а г — координата нейтрона. Взаимодействие (24.4) не изменяется при преобразовании, которое сдвигает координату г нейтрона на вектор 110 решетки Бравэ и одновременно переставляет переменные и (II) ионных смещений по закону и (II) ->-и (II — Я,,). Действительно, производя оба перемещения, получаем из (24.4)
