Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
б) Покажите, что, когда вектор к лежит в направлении [100] [т. е. к = (к, 0, 0) в прямоугольной системе координат], одна нормальная мода строго продольна и имеет частоту
<">!. = ]/" 8А^АВ sin V„^, (22.99)
а две другие строго поперечны, вырождены и обладают частотой
ат=\/Г 8А^2В 8ini/4fcfl. (22.100)
в) Каковы частоты и поляризации нормальных мод, когда вектор к параллелен направлению [111] [т. е. к = (к, к, к)/УЗ]? _
г) Покажите, что, когда вектор к имеет направление [НО] [к = (к, к, 0)/У~2], одна мода строго продольная и обладает частотой
/84 + 25 . , / 1 ка \ . 24 + 2Я . „ / 1 ка \ .„„
—1—sin \-^)+—м—sin (туг)- (22Л01)
другая — строго поперечная, поляризована вдоль оси z [е = (0, 0, 1)] и обладает частотой
«т1^!- —Т1-^(- —)+—s.n*(T—), (22.102)
и третья — строго поперечная, поляризована перпендикулярно оси г и имеет частоту
<9i т /" 84-1-2/3 . „ / 1 fro \ 24 . ., / 1 А-а Г /по .^чо.
*?=V —w—*m2 (т-ут)+игsm2 (туг) • (22Л03)
д) Схематически изобразите кривые дисперсии вдоль линий ГХ и ГКХ (фиг. 22.13), считая 4=0. (Замечание. Длина отрезка ГХ равна 2я/а.)
ЛИТЕРАТУРА
1. tffcin М. i/orton С. A\, Feldman J. /..,Phys. Rev., 184, 68 (1969).
2. Brockhouse et al., Phys. Rev., 128, 1099 (1962).
3. Ландау Л. Д., Лифшии Е. М. Механика сплошных сред.— М.: Гостехиздат, 1953.
4. Huntington Н. В., Solid State Phys., 7, 214 (1958).
5. Но P., Ruoff A. L., J. Phys. Chem. Solids, 29, 2101 (1968).
6. deLaunay J., Solid State Phys., 2, 220 (1956).
7. Ho P., Ruoff A. L., J. Appl. Phys., 40, 3 (1969).
8. Ho P., Ruoff A. L., J. Appl. Phys., 40, 51 (1969).
9. Bolef D. I.. S. Appl. Phys., 32, 100 (1961).
10. Rayne J. A., Chandrasekhar В. S., Phys. Rev., 122, 1714 (1961).
11. Alers G. A. et al., S. Phys. Chem. Solids, 13, 40 (1960).
12. Lewis J. T. et al., Phys. Rev., 161, 877 (1969).
13. Ghafelebashi M. et al., J. Appl. Phys., 41, 652, 2268 (1970).
14. Love A. E. H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, Dover, New York, 1944, p. 159.
ГЛАВА 23
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО КРИСТАЛЛА
НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ И ФОНОНЫ ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ МОДЕЛИ ДЕВАЯ И ЭЙНШТЕЙНА СРАВНЕНИЕ РЕШЕТОЧНОЙ И ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ПЛОТНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ МОД (ПЛОТНОСТЬ ФОНОННЫХ УРОВНЕЙ) АНАЛОГИЯ С ТЕОРИЕЙ ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРНОГО ТЕЛА
В гл. 22 мы обнаружили, что вклад колебаний решетки в удельную теплоемкость классического гармонического кристалла не зависит от температуры (закон Дюлонга и Пти). Однако с падением температуры ниже комнатной теплоемкость всех твердых тел начинает уменьшаться по сравнению со своим классическим значением и при низких температурах, как показывают наблюдения, стремится к нулю по закону Т3 (в диэлектриках) или по закону АТ + + ВТ3 (в металлах). Объяснение подобного поведения теплоемкости было одним из первых больших успехов квантовой теории твердого тела.
В квантовой теории теплоемкости гармонического кристалла вместо классического выражения (22.12) для плотности тепловой энергии и необходимо пользоваться общим квантовомеханическим результатом
" = Т 2 Е1е"Щ/2 е"РЕг> Р = МвТ, (23.1)
в котором Е% — энергия ?-го стационарного состояния кристалла, а сумма берется по всем стационарным состояниям.
Энергии стационарных состояний задаются собственными значениями «гармонического» гамильтониана 1):
япагш = ^ _1_ рг (К) +1 2 и, (К) (И - К') «V (К'). (23.2)
в. в.в/
Подробно метод нахождения этих собственных значений изложен в приложении М. Результат расчета столь прост и интуитивно правдоподобен, что мы
1) См. формулы (22.8) и (22.10). Мы приводим лишь выражение для моноатомной решетки Бравэ, но последующее рассмотрение является совершенно общим. В гамильтониане (23.2) сохранен член с кинетической энергией, которую теперь приходится учитывать на всех стадиях расчета (в отличие от классической статистической механики). Пока мы опускаем аддитивную постоянную <7еч, что эквивалентно вычитанию величины иеч/Х' из плотности энергии (23.1). Поскольку не зависит от температуры, отсутствие такого члена не влияет на теплоемкость. Если бы, однако, нам требовалось знать зависимость внутренней энергии от объема, необходимо было бы сохранить член иеч.
80
Глава 23
сразу приведем его здесь, опуская несложное, но довольно громоздкое доказательство.
Чтобы описать энергетические уровни гармонического кристалла, состоящего из Л" ионов, мы можем рассматривать его как совокупность ЗА независимых осцилляторов, частоты которых равны частотам ЗА классических нормальных мод, рассмотренных в гл. 22. Вклад в полную энергию одной нормальной моды с частотой со8 (к) может принимать значение из дискретного набора
(п^ + ~)Пщ{к), (23.3)
где пъ3 — число, показывающее степень возбуждения нормальной моды; оно пробегает значения 0, 1, 2, ... . Состояние всего кристалла описывается путем указания степени возбуждения каждой из ЗА нормальных мод. Полная энергия равна сумме энергий отдельных нормальных мод:
д=2 (гак»+т)й<й«(к)- (23-4)
