Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Найдем методом круговых процессов закон изменения поверх -HociHoro натяжения с темпераіурой. Для этого осуществим цикл Карно с жидкой пленкой в проволочной рамке. Изобразим этот цикл на плоскости с координатными осями Г, а (I — поверхность пленки, о—поверхностное натяжение; рис. 19). Пусіь вначале поверхность пленки равна S1, натяжение а (точка /). Растянем пленку изотермически до состояния 2. Поверхностное натяжение при эгом не изменится, но так как увеличение
jbQ=W,
(5.1)
(5.2)
99поверхности пленки связано с охлаж-4 rTa'" J дением. то. для того чтобы процесс
* у5* шел изотермически, на участке 1—2
' I00 / пленке сообщаеіся теплота Q1 при
—1—*-тZ температуре Т. Растянем пленку ади-
I абатно до состояния 3, при эюм ее
j температура понизится на d Т, а по-
1 верхностное натяжение увеличится на _ ? da. Затем дадим пленке возможность
2 сначала изотермически сжаться до Рчс- I9- состояния 4 (при этом придется отнять у нее количество теплоты Q2);
а потом еще адиабатно сжаться до состояния 1.
Работа W, совершенная пленкой за цикл, равна Ql-Qp и отрицательна (производится над пленкой). На диаграмме ст эта рабоїа равна площади цикла при обходе цикла против часовой стрелки: W= -(S1-E2) der (изменение ст при элементарном адиабатном процессе равно do при некоюром Г). По W (I2-I1)1Ict
определению, к.п.д. цикла г)=—=——, а так как пленка
совершила цикл Карно, то т| = ^
-(I2-I,)da JT
ниє два выражения, получаем --—-—=—,
Но Q1KZ2-^i) =г теплота изотермического образования единицы поверхности пленки, поэтому
(?-? <м>
т. е. поверхностное натяжение с повышением температуры уменьшается и быстрота этого уменьшения обратно пропорциональна термодинамической температуре.
Подобным образом можно наши іакже зависимое і ь давления насыщенного пара от температуры, зависимость электродвижущей силы элемента от температуры и т.д. (см. задачи 5.1, 5.2).
Разобранный пример показывает, как в методе круговых процессов используются основные законы термодинамики и устанавливаются искомые закономерности.
Метод циклов является одиим из первых термодинамических исследований. Карно, Клаузиус, Нернст использовали только этот метод.
Метод круговых процессов, с одной стороны, может быть принципиально применен для решения любой задачи, а с другой
100стороны, он имеет тот большой недостаток, что для установления той или иной закономерности всякий раз приходится ad hoc подбирать подходящий цикл: успех решения задачи зависит от выбора необходимого никла, сам же выбор ничем не определяется. Как уже было сказано, чаще всего используется цикл Карно.
В настоящее время почти во всех случаях термодинамического исследования применяется метод термодинамических потенциалов.
§ 24. МЕТОД ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Метод термодинамических потенции toe, или метод характеристических функций, был развит Гиббсом. Исходным в этом методе является основное уравнение термодинамики
rd^dC'+^du,, (5.4)
которое, как мы покажем, нозволяеі для системы в различных условиях ввести соответствующие функции состояния, называемые термодинамическими потенциалами. Изменение этих функций при изменении состояния системы является полным дифференциалом. Мегод потенциалов состоит в использовании свойства полною дифференциала введенных термодинамических функций, что позволяет получить уравнения, необходимые для анализа того или иного явления.
Рассмотрим вначале простые системы В этом случае для равновесных процессов основное уравнение термодинамики имеет вид TdS = df/'+ Ada или, если А=р, a = V,
TdS=dU+pdV. (5.5)
Это уравнение связывает пять функций состояния: Г, S, U, р и V. Само же состояние простой системы определяется двумя параметрами. Поэтому, выбирая из пяти названных величин две в качестве независимых переменных, мы получаем, что основное уравнение содержит еще три неизвестные функции. Для их определения необходимо к выражению (5.5) добавить еще два уравнения, которыми могут быть термическое и калорическое уравнения состояния P=Pi V, П (5.6)
U=U(V, Т). (5.7)
если в качестве независимых параметров выбраны Vn Т.
Xoiя второе начало и устанавливает связь между функциями р и L в виде TyCpic Т)у = (С Цс V }, +р, (5.8)
уто. однако, не исключает необходимое їй добавления к выражению (5.5) все же двух уравнений для определения трех неизвестных функций, поскольку связь (5 8) является іиффереициальной и іюзво 'іяет по одной из функций опрсдстить другую, искомую функцию в ее зависимости лишь от одного аргумента с гочниеіью до IipiiMiBUJibHuH функции Oi друюю аргумеща Поітому благодаря
101формуле (5.8) для определения трех неизвестных функций в выражении (5.5) к нему нужно добавиїь чч'мичсское уравнение (5.6) и калорическое уравнение не в виде (5 7), а лишь хак функцию температуры T [знание зависимости U от объема V благодаря формуле (5.8) не нужно]. Таким образом, несмотря на формулу (5.8), к выражению (5.5) нужно добавить все же два уравнения Р=Р(У,Т) и U-U(T), а не одно.
Однако при некоторых других независимых переменных основное уравнение термодинамики (5.5) позволяет найги все три неизвестные функции, если к нему добавить не два, а лишь одно уравнение. В самом деле: