Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Определение .8. Одновременным событию Pf является событие Р, момент собственного времени которого удовлетворяет условию-
<Р) = ±Ыр*)+*(р*)] + і Npi> - т(рз>]
|/|' ^ _ ?oi?okJ dxldxk (1.116)
Здесь dx1 = Xi(P) — х1[Р). Часы синхронизированы, если т(я')= = т (P).
Условие (1.116) отличается от условия Эйнштейна (1.105)
слагаемым, пропорциональным проекции вектора а на направление, которое задается одновременными событиями P и P' (рис. 6), Это слагаемое и определяет степень анизотропности скорости света в данном направлении в данной системе отсчета. В синхронной системе отсчета скорость света не зависит от направления, поэтому условие одновременности (1.116) сводится к условию* Эйнштейна:
а = 0, когда X = 0- 0-117)
В произвольной же системе отсчета векторное поле а, вообще, отлично от нуля и определенным образом характеризует несинхронную систему отсчета.
Из существования причинной связи между событиями Pi, Pr и Рз и из определения 8 следует неравенство, которому удовлетворяет поле а:
\andx"\< ]/ [gik- g°gg0k)dxldxk. (1.118)
Лемма 12, Если события P Xі) и Р(х° + dx°, xl + dxiy одновременны согласно определению 8, то их координаты удовлетворяют уравнению
dx° + ?2Ldxi+ dxn = 0. (1.119)
Vr-Soo
lit а квадрат расстояния между ними определяется формулой
dl2 = hlkdxldx\ (1.120)
где
*»=*»¦-?? (1121)
Промежуток собственного времени между двумя произвольными, но близкими событиями Ра{х,х1) и Рь[х° + dx°, Xi-^dXi), первое из которых принадлежит мировой линии часов, выражается формулой
Л = V^gZ (dx° +^dJtf)+ a fix1. (1.122)
Лемма доказывается так же, как лемма 10 и следствие 7.
Поскольку физическое пространство в некоторый фиксированный момент времени есть гиперповерхность одновременных точек, то размерность интегрального многообразия уравнения Пфаффа (1.119) одновременных точек должна быть равна трем. Это возможно в том и только том случае, если линейная форма Пфаффа (1.122) голономиая. Условия голономности формы (1.122)
(Son , аи \ , /g<w . ai \ „ .
',..-?. -^ + ^=)0,0 + (55 + ^)?..+
+ Pf-^Pft = -Szift (1.123)
представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, которым подчиняется векторное поле а.
Интегральное многообразие (гиперповерхность) уравнения Пфаффа (1.119) по-прежнему можно представить равенствами (1.110). Коэффициенты первой квадратичной формы этой гиперповерхности совпадают с компонентами тензора (1.121). Геометрический смысл неравенства (1.118) поэтому состоит в существенной положительности длины дуги в физическом пространстве.
Повторив рассуждения, использованные в оправдание следствия 8, можно убедиться в справедливости следующего утверждения.
Следствие 9. Если в заданной системе отсчета гиперповерхность и Xі) = C, или в разрешенной форме х0= и [х1; С), является интегральным многообразием уравнения (1.119) одновременных точек, то время между любыми событиями A^j и
л;*), измеренное по часам, покоящимся в точке Xi0, определяется формулой (1.112а).
«—14 112 Хотя время t (V, X1o; X0^1 X1t^ — t jcJ; X09 ^jj между произвольными двумя событиями X1^j и {х°, х1^ зависит от опорной точки Xi0, в которой оно измеряется, геометрия пространства не зависит от выбора этой точки. Все события, одновременные относительно одной опорной точки, одновременны также и относительно любой другой. Одна и та же совокупность событий, удовлетворяющих уравнению dt= 0, представляет собой физическое пространство во всех возможных опорных точках, но в разных опорных точках эта совокупность отнесена к разным моментам времени. Поэтому результат любого геометрического измерения, проведенного на пространственной гиперповерхности в некоторый момент времени относительно данной опорной точки, совпадает с результатом измерения, проведенного на пространственной гиперповерхности в соответствующий момент времени относительно другой опорной точки.
Лемма 13. Пусть скалярная функция двух точек ? X1q; х°, х1] определена так, что
(*')
? = - f Р* (' = const» Xn) dxk%
(4)
где
Р/= Р| - "T==aI-O •
V —?оо
Тогда дифференциал времени выражается формулой
dt = е* (dX0 + f' dx') + atdx1} .
Доказательство. Криволинейный интеграл в (1.124) не
зависит от пути интегрирования, так как ротор вектора ? равен нулю. Это нетрудно проверить, применив к (1.125) операцию производной в физическом пространстве
д = д___ д____ / g?І . ai J _д_
* ~ ^xi Uonst ~ дх* Uconst U00 V=^l дх°
и воспользовавшись (1.49), (1.50а) и (1.123). Поэтому функция <р, определенная равенством (1.124), существует и однозначна.
Так как dt=0 есть уравнение гиперповерхности одновременных точек, то dt отличается от левой части (1.119) только некоторой функцией, являющейся интегрирующим множителем формы (1.122) Пфаффа. Обозначив эту функцию через е9, получим (І.126). Докажем теперь, что логарифм интегрирующего
(1.124)
(1.125)
(1.126)
«—14
113 множителя удовлетворяет равенству (1.124). Произведем для этого преобразование координат из группы (1.45)
