Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
5°. Кривошипный механизм. Стержень АО (рис. 115) шарнирно связан концом А с неподвижной -со стержнем OB длины Ь, конец которого В скользит без трения по вертикали, проходящей через точку А. На палец F, неизменно связанный с АО, действует движущая сила FP, которую мы можем считать перенесеной в точку E ее направления, являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на Р. Сопротивлением является вертикальная сила BR1, препятствующая движению точки В.
Рис. 115.
осью, а концом О - ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
225.
Единственным перемещением, допускаемым связями, будет то, которое получится, если повернуть стержень АО на угол 8а. При этом перемещении
работа силы P будет _
PbP=-PAEba.
Работа сопротивления равна —Rbx, где *— расстояние AB. Из треугольника AOB имеем
= xs а2 _ 2ах cos а,
и, дифференцируя, получаем
О = x Sjc — a cos аЪх ах sin а 8а,
откуда
8л: = -
ах sin а
так что условие равновесия будет
P = -
x — a cos а
ах sin а
AE X— acos а
Проведем OD и AC перпендикулярно к AB и обозначим через С точку пересечения последнего перпендикуляра с продолжением линии ВО. Имеем
x ac
OD = a sin a, BD = х — a cos а, -==7- = _-
BD OO
и условие равновесия напишется в такой простой форме: P _ хОР . АС_ R ~ AE BD ~ АЁ
6°. Полиспасты и тали. Полиспаст состоит из двух систем блоков, каждая из которых смонтирована в общей обойме, причем блоки насажены на общую ось или на отдельные оси. Первая система неподвижна, а вторая движется (рис. 116). Допустим, что каждая система состоит из трех блоков: первая — из блоков А, А', А" и вторая — из блоков Av Av A1. В неподвижной точке В обоймы первой системы закреплена веревка, которая последовательно перекидывается через AiA, A1A', ... Движущая сила P является натяжением, действующим на свободный конец веревки. Сопротивлением R является груз, подвешенный внизу подвижной системы. Шесть частей веревки, заключенных между обеими системами блоков, можно рассматривать как параллельные. Так как общая длина нити остается неизменной, то при перемещении свободного конца нити на 8Р, каждая из ее частей, заключенных между двумя системами блоков, укоротится на Это выражение, взятое с обратным знаком, является значением Ьр и при равновесии получаем
P=1R.
Т. Нерастяжимая цепь, скользящая без трения по неподвижной кривой. Пусть А и В — концы цепи, толщина которой принимается бесконечно малой, F—сила, непосредственно приложенная к элементу ds, 226
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
находящемуся в точке С, Ft— проекция этой силы на касательную к кривой в точке С в направлении AB. Сообщим системе единственно возможное перемещение, допускаемое связями, при котором вся цепь целиком, а вследствие этого и каждый ее элемент, скользит вдоль кривой на общую величину CC', равную 5а (рис. 117). Возможная работа силы F равна Ft Ba; приравнивая сумму этих работ нулю и замечая, что Sa может быть выведено из суммы
в качестве общего множителя, получим условие равновесия
Это условие достаточно, если предположить, что цепь во всех точках растянута, а не сжата. Например, если на цепь не действуют никакие силы, кроме двух сил P и R, приложенных к концам, то условие равновесия будет
Pt +Ri = O.
8°. Равновесие несжимаемой жидкости в очень узкой трубке. Уже Галилей пользовался принципом возможных скоростей для доказательства основных теорем гидростатики. Декарт и Паскаль также пользовались этим принципом для изучения движения жидкостей. Для того чтобы можно было приложить принцип возможных скоростей к жидкости, пренебрегая работой внутренних^ сил, необходимо, чтобы работа внутренних сил жидкости или реакций связей равнялась нулю при любом возможном перемещении, допускаемом связями, т. е. чтобы соседние молекулы оставались на постоянных расстояниях (несжимаемая жидкость) и чтобы не было внутренних трений (идеальная жидкость). Мы позаимствуем пример у Лагранжа (Статика, раздел 7).
Рассмотрим несжимаемую жидкость, заключенную в бесконечно тонкой трубке заданной формы, поперечное ,сечение которой (о изменяется по Заданному закону. Для большей точности можно себе представить, что трубка образована перемещающимся бесконечно малым плоским элементом, остающимся веб время нормальным к заданной кривой 5 (рис. 118). Пусть А и В — концы жидкой колонки, удерживаемой двумя бесконечно малыми поршнями, dm — элемент этой колонки в положении С, где поперечное сечение равно (о. Обозначим через F силу, приложенную к элементу dm, и через Ft—• ее проекцию на касательную к кривой 5 в направлении AB, т. е. на нормаль к <¦>. Сообщим жидкости единственно возможное для нее перемещение, допускаемое связями, перемещение, при котором вся колонка совершает скольжение как целое на бесконечно малую величину. При этом скольжении элемент dm, находящийся в С, описывает по кривой 5 дугу 6s, так что w6s равно количеству жидкости, проходящей через сечение (О трубки. Вследствие несжимаемости жидкости необходимо, чтобы это количество было всюду одинаковым. Можно положить ш Ss = а, г це а—-одинаково на всем протяжении
