Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
P1P2COS (P1P2),
получаемое умножением произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. В этом произведении первые два множителя положительны; третий множитель cos (P1P2) положителен, отрицателен или равен нулю в зависимости от того, будет ли угол между обоими векторами острым, тупым или прямым.
Предполагая снова оси прямоугольными, обозначим через X1, Yi, Z1, X2, Y2, Z2 проекции обоих векторов на эти оси, а через Ot1, Ti' aZ' ?2> 7г —их направляющие косинусы. Имеем
cos (P1P2) = Ct1Ct2 н- P1P2 H- ТіТї. откуда, заменяя a,, ot2, ... найденными из формул (2) значениями4-=^, X9
-у—.....получим формулу
'2
P1P2 cos (P1P2) = X1X2 H- K1Y2 H- Z1Z2, (3)
*) В оригинале употребляется термин «внутреннее произведение». (Прим. перев.) ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•19
являющуюся аналитическим выражением скалярного произведения двух векторов и позволяющую определить косинус угла между ними.
Условие перпендикулярности двух векторов. Для того чтобы два вектора были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между ними равнялся нулю. Таким образом, в прямоугольных осях получаем условие
Скалярное произведение двух векторов P1 и P2 мы будем обозначать символом P1 • P2.
Другие названия и обозначения. Дж.-В. Гиббс (Vector Analysis, New York et Londres, 1902) употребляет для определения скалярного произведения название прямое произведение двух векторов; О. Хэ-висайд (Electromagnetic Theory) — название скалярное произведение и М. Карвалло — алгебраическое произведение. Были предложены и различные обозначения: наиболее простым обозначением скалярного произведения является запись в виде PIP1. Имеем PIP1 =P11 Р. Проекция вектора на ось есть скалярное произведение этого вектора на вектор, численно равный -f-1 и имеющий данную ось своей линией действия.
4. Геометрическая сумма произвольного числа свободных
векторов. Пусть заданы векторы (рис. 3) P1, P2.....Pn. Возьмем
произвольную точку А за исходную и построим последовательно систему векторов, геоме-
и, наконец, вектор Cn^lCn,
равный Pn. Вектор ACn за- Рис- 3-
мыкает полученный таким
образом многоугольник. Он называется геометрической суммой R заданных векторов, а заданные векторы составляющими.
Легко убедиться, что геометрическая сумма не зависит от порядка, в котором берутся составляющие векторы.
•Для обозначения того, что вектор R является геометрической суммой векторов P1, P2, ..., Pn, мы будем писать:
* = /\ + />2+ ... +/>„ или (Я) = (P1)+(P2)+- ... +(Рп).
Проекции геометрической суммы векторов. Пусть X1, K1, Z1,
X2, Y2, Z2..... Xn, Yn, Zn— проекции векторов P1, P2.....Pn,
а X, V, Z — проекции их геометрической суммы R. Согласно теореме о проекциях, проекция вектора R -= ACn на произвольную
ад+K1 к2+Z1Z2 = о.
(4)
трически равных заданным векторам, а именно: сначала построим вектор AC1, равный P1, в конце его — вектор C1C2, равный P2, затем вектор C2C3, равный P3, .. . 20
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
ось равна сумме проекций сторон многоугольника ACiC2 ¦. ¦ Cn, т. е. сумме проекций составляющих векторов. Таким образом, имеем
(Х=Х,+Х2 + ... +Xn,
я- Y=Y,+ Y2 + ... +Yn,
{ Z = Z,+Z2 + ... +Zn.
Равенство векторной суммы нулю. Если точка Cn совпадает-с точкой А, то сумма R равна нулю. Для. того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы X, Y, Z равнялись нулю.
Примечание. Пусть P — произвольный вектор. Если
R = Pi + P2 + ... + Pn,
то, взяв скалярные произведения, получим:
P.R^PP. + PP,+ ... +PPn.
Это равенство непосредственно вытекает также из того, что проекция вектора R на вектор P равна сумме проекций векторов P1, P.,,..., Pn на вектор Р.
5. Геометрическая разность. Геометрическая разность векторов P1 и P2 (рис. 4) есть вектор Q, сумма которого с вектором P2 равна вектору P1. Проведем из некоторой точки А два вектора AC1 и AC2, геометрически равных заданным векторам P1
и P2. Тогда вектор Q, ґеометри-O чески равный вектору C2Cv и будет искомым, так как
Д"^--^f?, 1 P P - Q.
Рг
Рис. 4.
Рг = Р2
Мы будем писать Q = P1
Проекции геометрической разности векторов. Z — проекции геометрической разности Q двух векторов P1 и P2, проекции которых равны соответ-
2-
K=K1-K2,
-P2-
Пусть ?\
X, К,
ственно X1, K1, Z1 и X2, K2, Z, X= X1 —X2,
Очевидно, имеем: Z = Z1-Z2.
в. Положительное направление вращения вокруг оси. Пусть Д — некоторая ось, на которой произвольным образом выбрано положительное направление, например, от г' к z (рис. 5). Мы будем говорить, что точка М, движущаяся по произвольной пространственной кривой С, вращается вокруг Рис. 5. оси в положительном направлении, если для наблюдателя, смотрящего по направлению от 2 к z', точка движется справа налево. В противном случае точка вращается в отрицательном направлении. ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•21
Рассмотрим, например, два вектора A1P1 и BP2 (рис. 9). Допустим, что точка, перемещающаяся по направлению A1P1, поворачивается вокруг вектора BP2, принятого в качестве оси, в каком-нибудь направлении. Тогда из рисунка видно, что и, наоборот, точка, перемещающаяся вдоль BP2, вращается вокруг A1P1 в том же направлении.
