Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
R1 (а, ?, у) = Rxs (а) RXi (?) Rxш (у) = ^/2^/2^3/2;. (10.29)
Применим оператор Rt (а, ?, у) к спиновым функциям V1- (s) и V2 (s). Используя (10.13) и действуя аналогично тому, как при получении (10.23), получим после некоторых вычислений
#i(«. P. V) vI (s) = cos |-е"т<а+?Ч (s)H-sin|-eT(et~v,v1(s),
Rt (а, ?, Y) v2 (S) = - sin і ia~\ (S) + (10.30)
в 4-<a + V) , ч
+ cos-|-e2 Va (s).
Если рассматривать Rc(а, ?, 7) как элемент группы вращений, действующий на базисные спиновые функции V1(S) и V2 (s), то двухрядная матрица правой части (10.30) соответствует определению оператора P'R (П. 6.1а). Неприводимым представлением, соответствующим элементу R1 (а, ?, 7), будет в этом случае матрица D1, транспонированная матрице (10.30), т. е.
P -5-<«+V) . ?
cos ~e z —sin ~ e 2
sin fe2 7 cos|-eT(a+v)
с характером, равным
Sp{D'} = xz = 2coslcos2±I. (10.31a)
Рассмотрим преобразование (10.30) при повороте координатной системы вокруг любой оси на угол 2я. Такое преобразование для любой функции, зависящей от координат, эквивалентно единичному элементу Е. Положим в (10.31), например, а = 2л, ? = Y = 0, тогда
MC -!)-(І !). с'о-зч
т. е.
R1 (2л) V1 (s) = -V1 (S), (2я) v2 (s) =-V2 (S). (10.33) Тот же результат получится, если положить ? = 2n, a Ct = Y = O1).
1) Конечно, то же можно показать при вращении на угол 2л вокруг оси, произвольно направленной в пространстве. SiOJ СПИН-ОРБИТА ЛЬНОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 265
Таким образом, в то время как операция Ri (2я) по отношению к функциям, зависящим от пространственных координат, ведет себя как единичный элемент,— действуя на спиновые функции V1(S) и Va (s), меняет их знак (10.33). Мы обозначим
Ri(2n) = E. (10.34)
Очевидно,
Ri (4п) = ЁЕ = Ё*-Е, где E — единичный элемент по отношению к полной волновой функции (10.11), включающий как пространственные функции Фі(г), ij)a (г), так и спиновые функции V1 (s), va (s).
Пусть R1—собственные вращения и им соответствуют матрицы D1 (10.31); тогда элементам ERl = Rt соответствуют матрицы— DK
Конечно, с таким же основанием мы можем элементу R1 сопоставить матрицы—Dh а элементу ER1 = R1—матрицу D1, так как существенным является только то, что при вращении на угол 2я матрица D1 меняет знак. Таким образом, более последовательным было бы перед матрицей в правой части (10.31) поставить знаки ±.
Таким образом, в той мере, в какой учитывается спин, операции Rt не те же, что Rt. В то же время, если гамильтониан Ж (ст, г) инвариантен относительно вращений R1, то он будет инвариантен относительно операций R1 = ER1. Таким образом, пространственная группа уравнения Шредингера—Паули (10.10) содержит вдвое больше элементов, так как наряду с +
она содержит элементы + Такие группы, учитывающие
при вращениях трансформационные свойства спиновых функций, получили название двойных групп. Двойная группа содержит вдвое большее число элементов, чем простая, однако число классов в ней не обязательно в два раза больше. Можно показать1), что элементы C2 и EC2 принадлежат к одному классу, если имеется ось C2, перпендикулярная C2.
В матричной форме уравнения (10.30) могут быть записаны в виде
*,<«, (10.35)
где D1—матрица, транспонированная Dt (10.31).
Сопоставляя элементу Rt (а, ?, у), как указывалось выше, матрицу —D1, получим
_»kMSwb-^u«)- <ю-з5а>
1JOnexoBCKHfi В. О кристаллографических «двойных» группах. /В сб. Р. Нокс, А. Голд. Симметрия в твердом теле.—M., 1970, с. 27І. 266
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
До сих пор мы рассматривали только собственные вращения Ri(a, ?, т)- Покажем, что если точечная группа симметрии содержит несобственные вращения, то приведенные выше соображения о двойных группах остаются в силе.
Если группа симметрии наряду со всеми элементами собственного вращения R1 содержит несобственные вращения JR1, то она может быть представлена как прямое произведение группы собственных вращений {7?,} на группу Ci = {E, J\. В гл. И, §6, п. 5 мы показали, что неприводимые представления прямого произведения двух групп равны прямому произведению их неприводимых представлений. Так как неприводимые представления группы Ci равны +1 и —1 (см- табл. II.3), а выбор знака матрицы D1 для простой группы, как мы видели, произволен, то двойные группы определяются так же, как выше.
Если же операция инверсии J не входит в группу (так что группу нельзя представить как прямое произведение группы собственных вращений {R1} на группу С( = {Е, но группа содержит несобственные вращения JR1, то распределение элементов по классам определяется только собственными вращениями и совпадает с распределением в изоморфных группах, содержащих вместо элементов JR1 элементы R1. Поэтому двузначные представления таких изоморфных групп совпадают.
§ 11. Двойные группы в кристаллах InSb и Ge
1. Как уже упоминалось в § 8, п. 2, классификация электронных состояний в кристалле InSb может быть проведена по неприводимым представлениям Г (R) соответствующих точечных групп. Как мы видели, группе волнового вектора точки А (см. рис. IV.22) соответствуют следующие элементы табл. IV.2: R1(Xyz) = E, R2 (xyz) = C21, Rlt (xzy) = JC2 и R20 (xzy) = JC2. Этим Ri соответствуют следующие матрицы a = (ail{) преобразования (10.24):
