Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Хотя мы пренебрегаем перекрытием самих атомных волновых функций разных узлов, будет последовательным учесть интегралы в числителе дроби (7.5) при пф О для соседних узлов п0:
S ФЇ (Г) [V (Г)-41 (р.,)] Ч>0 (рПо) dx = - Ano. (7.8)
Рис. IV. 7. §7] ПРИБЛИЖЕНИЕ СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ 235
В самом деле, хотя Ip0 (Р«о) мало вблизи нулевого узла, но это частично компенсируется в этой области большим значением разности V (г) — 41 (р„„). Некоторые общие соображения, на которых мы останавливаться не будем, позволяют предполагать, что и в случае (7.8) интеграл отрицателен. Из соотношения (7.5)—(7.8) получим
е = е0-С-2Л1Г.е"в-.. (7.9)
"о
Если волновая функция г|з0 (г) относится к s-состоянию, то Л„0 зависит только от расстояния между нулевым узлом и атомом
атомов. В этом случае
є
= е-С-Л2е''4». (7.10)
В простой кубической решетке каждый атом окружен шестью ближайшими соседями. Направив оси х, у и z по ребрам куба, получим
1,6
2 Cika"0 = е'кх" + e~ikx" eikya -\-e~ikya eikza e~ikzа =
п0
= 2 [cos akx + cos akv + cos akz],
где a — постоянная решетки. Подставляя эти результаты в (7.10), получим
є = е0—С—2A [cosakx + cos aky + cos akzJ. (7.1 Oa)
В случае объемноцентрированного куба каждый атом окружен восемью ближайшими соседями, и вместо уравнения (7.10а) мы получим (Приложение 14)
е = е0-с-8Л cos ^ cos^cos (7.106)
Аналогично может быть вычислена энергия электрона в решетке гранецентрированного куба:
є = є„—С — AA
akx оку akx ak, . a!ty akA
COS-^COS + cos -^cos -f cos cos
2 2 1 2 2
(7.10B)
Из выражений (7.10а) — (7.10в) видно, что при образовании кристалла из отдельных атомов энергия электрона в изолированном атоме є0 в результате взаимодействия с соседними атомами смещается на величину С и расщепляется в энергетическую зону, в пределах которой энергия электрона периодически зависит от составляющих волнового вектора k. Такому расщеплению подвергается каждый стационарный энергетический уровень изолированного атома; поэтому качественно картина будет подобна той, которая изображена на рис. IV.2 для почти 236
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
свободных электронов. Ширина разрешенной энергетической зоны, как мы увидим ниже, пропорциональна величине А, т. е. в большой мере определяется перекрытием атомных волновых функций г|)0 (г) соседних атомов. Для внешних валентных электронов атомов, которые нас обычно и интересуют, это перекрытие велико, так что ширина энергетической зоны достигает нескольких эв, т.е. порядка и даже превосходит расстояние между
уровнями энергии изолированного атома. Строго говоря, это означает, что развитый выше метод сильной связи неприменим к этому случаю. Для электронов внутренних оболочек атомов это расщепление мало: так, для /(-электронов в решетке металлического натрия оно порядка 2-IO-19эв, так что уровень практически остается резким. В результате спектр энергии электрона в кристалле приобретает вид, изображенный на рис. IV.8, где разрешенные полосы энергии заштрихованы.
Как можно представить себе движение электрона сквозь решетку с точки зрения приближения сильной связи? В изолированном атоме электрон пребывает на стационарном уровне е0 неопределенно долгое время. При сближении таких одинаковых атомов и образовании решетки электрон приобретает возможность посредством квантовомеханического туннельного эффекта перейти от одного узла решетки к соседнему. При этом резкий уровень энергии е0 из-за взаимодействия атомов расширяется в полосу шириной гаЬ, которая связана с временем пребывания электрона вблизи данного узла т соотношением неопределенности гаЬх та %. Для внешних электронов гаЬта 10 эв и соответствующие т« 10~1Ъсек, НО для /С-электронов натрия, когда гаЬ та 2- 10~19эв, электрон переходит от одного узла к соседнему в среднем за время т»1 час. Однако даже в этом последнем случае в стационарном состоянии электрон распределен с одинаковой вероятностью по всем узлам решетки кристалла.
3. Проиллюстрируем свойства электрона, движущегося в идеальном периодическом поле (§ 3), на примере сильно связанных электронов в простой кубической решетке. Будем энергию электрона е в выражениях (7.10) отсчитывать от уровня е0—С, т. е. положим е0—C = 0. Из (7.10а) видно, что энергия электрона е имеет при kx = ky = kz = Q, т. е. в центре бриллю-эновской зоны, минимальное значение, равное еь = —6А, а при kx = ky = k2, = nla, т. е. в вершинах куба зоны,— максимальное значение еа = +6А. Таким образом, в случае простой кубической решетки ширина зоны евЬ = ев—е6 = 12А.
'////////////У/УЛ
Рис. IV. 8. §7] ПРИБЛИЖЕНИЕ СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ 237
Для малых ft, т. е. akx<^.\, aky<^.\ и akz<^. 1, получим, разлагая косинусы в ряд,
е = —2Л
(1-^)+(1-^)+(1^')"
= —6А + Aa2 (k% + Щ + k2z) = Eb + Aa2k2. (7.11)
Таким образом, для малых ft энергия электрона, так же как и в случае слабой связи, не зависит от направления ft и пропорциональна k2. Скалярная эффективная масса электрона у нижнего края зоны
KdklJb
т. е. положительна, и, если приближенно считать a = Const для разных кристаллов, обратно пропорциональна ширине зоны гаЬ.
