Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
характеры могут быть получены из табл. III.3 по схеме табл. II.6. Если затем составить таблицы соотношений совместности для M и 2, Z, T и для X и A, Z, S, то можно предсказать характер слияния ветвей в точке Al в случае в) и характер расщепления ветвей в случае г).
Рассмотрим в заключение неприводимые представления группы волнового вектора, направленного к точке Z (см. рис. 111.13). Поскольку линия Z не выходит из центра Г, мы не можем пользоваться условиями совместности, а должны исходить из представления Dz (8.7). Волновой вектор, направленный к точке Z1 не меняется (или переходит в эквивалентный) при следующих операциях: Е, C\(qz), JC\(qx), JC\(qy) (в скобках указаны соответствующие оси C1). Таблица характеров этой группы четвертого порядка совпадает с таблицей характеров группы для точек 2 и S (см. табл. III.4)1). Легко показать, что характеры представления Dz совпадают со значениями последней строки для Г15; поэтому разложение Duz по Z1, Za, ... имеет вид,
Необходимо только заменить первый столбец на неприводимые представления Z1, Z2, Z3 и Zi, а первую строку на Е, C\(qz), JC4 (qx), JCl(qy). 166 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
аналогичный (8.21), т. е.
Duz = Z1 +Z3+Zi. (8.22)
Мы видим, что вдоль линии Z имеются три невырожденные ветви колебаний, как и было показано аналитически (см. табл. III.1, рис. III.14, г).
Учитывая, как сравнительно просто было в предыдущем параграфе получено решение для простой кубической решетки, читатель может усомниться в эффективности применения теории групп к нормальным колебаниям кристалла. В связи с этим отметим, что, во-первых, решение предыдущего параграфа получено для модели кубического кристалла, в котором учитывается взаимодействие каждого атома только с первой и второй координационной группой атомов. В то время как результаты группового анализа справедливы для кубического кристалла в общем случае. Во-вторых, теория групп может быть применена к анализу нормальных колебаний и в случае сложных решеток, когда получить аналитическое решение в замкнутой форме невозможно. При этом теория групп позволяет отбросить все то, что противоречит симметрии системы, позволяя тем самым существенно уменьшить числа вариантов, которые должны быть исследованы методами вычислительной математики.
§ 9. Колебания и волны в кристаллах в приближении изотропного континуума
Рассмотрим гармонические волны в кристаллической решетке в континуальном приближении (П. Дебай, 1912). Очевидно, что такое приближение является хорошим, когда длина волны много больше постоянной решетки, так как в этом случае не должна сказываться дискретная (атомная) структура кристалла. Как мы увидим, континуальное приближение носит весьма различный характер для длинных акустических волн и для длинных оптических волн в ионном (гетерополярном) кристалле.
1. В случае длинных акустических волн континуальное приближение эквивалентно применению теории упругости1). Уравнения движения однородного, изотропного, упругого континуума в отсутствие объемных сил имеют вид2)
P ^L = (М + A) graddiv a + MVtt. (9.1)
Здесь и (г, t) — вектор смещения среды в точке г в момент t,
При изложении этого пункта я следую § 2 гл. VI моей книги «Основы статистической физики и термодинамики».— M., 1973 г.
2) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М./Теоретическая физика, т. 7.— Теория упругости.— 3 изд.— M.: Наука, 1965, § 22. і 9] ПРИБЛИЖЕНИЕ ИЗОТРОПНОГО КОНТИНУУМА 167
M и A—постоянные коэффициенты Ламэ, р — постоянная плотность однородного континуума.
Из теории упругости известно1), что Ф не= diva—относительное изменение объема ДV/V в точке г, а ср = V2 rot а—угол поворота элемента объема (как целого) в точке г. Беря дивергенцию от обеих частей равенства (9.1), получим волновое уравнение для сжатия Ф
TF- = ViW, (9-2)
где и1=У(2М + Л)/р—скорость волн сжатия; при получении (9.2) мы использовали соотношения
div=-J-(diva), divgrad = Vа, div V2M = V2 diva.
Аналогично, беря ротор обеих частей уравнения (9.1), получим волновое уравнение для угла кручения ф:
д2ф
dt*
(9.3)
гдеу4 = ]/Л1/р — скорость распространения волн кручения (было использовано, что rot grad = 0). Легко видеть, что vt~>vt, что связано с тем, что упругое сопротивление при сжатии больше, чем при кручении.
Покажем, что волны сжатия продольные, а волны кручения поперечные. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси X (что, очевидно, не является ограничением общности):
U = Л sin 2л (vf — і.) , (9.4)
где А — постоянная амплитуда, v — частота и X—длина волны. Отсюда следует, что
+ + (9.5,
И
ф = -L rot а = - AyJ0 ( І) cos 2я ( Vt -JL) +
+ ла(т)соз2яЫ—г) • (9-6)
я у V V
где J0 и A0—орты осей у И Z.
Из (9.5) и (9.6) непосредственно видно, что волны сжатия -9-являются продольными (Ay = Az = Q), а волны кручения ф—поперечными (Ля = 0).
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости.— 3 изд.— M.: Наука, 1965, § 22. 168 КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЁ.ШЕТКИ [ГЛ. III
Продольные волны сжатия $ (9.5) и поперечные волны кручения фу и фг (9.6) являются континуальным аналогом трех акустических ветвей, рассмотренных при изучении колебаний атомов сложных кристаллов, в § 5, п. 5. Можно сказать, что Oz и vt—продольная и поперечная скорости звука. Определим в рассматриваемом нами случае функцию распределения частот g-(co) (5.33), дающую число колебаний на единичный интервал частоты со.
