Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Г
(I) = J е-* сід;=1 (П.7.9)
о
Г ( т) = I X1^e-" dx = VrJT. (П.7.10)
о
где мы ввели переменную интегрирования t = х1^.
Используя рекуррентное соотношение (П.7.8) и значения Г(1) и T(Va), получим
Г (2)=1, Г (3)=1-2, Г (4)= 1-2 3.....Г(«) = (п —1)!, (П.7.11)
т (^yn=My1C, {П.7.12)
где (2п — 1)!! — произведение последовательных нечетных чисел от 1 до (2п — 1),
Приложение 8
I. Для упрощения вычислений выведем формулу (2.9), т. е. вычислим энергию $ для системы, состоящей из N = 2 электронов. Обобщение на произвольное число N электронов не представляет принципиальных трудностей, для этого необходимо только использовать некоторые хорошо известные свойства определителей. Используя
волновую функцию (2.8) и гамильтониан (2.1а) для системы двух электронов, получим
S = j ф*?ф dx1 йт2 = 1 j [Фі* (1) <р2* (2)—ф* (2) фа (1)] X
X + ^ [фі (1)ф2(2)-ф! (2) Фа (I)] ^dT2, (П.8.1)
где і (і=1, 2) определяются выражением (2.16), ПРИЛОЖЕНИЯ
589.
Раскрывая скобки под интегралом, получим
<?=У { JtIo С) ^1+j ФЇ(2) Жт (2) dx2+
+ 5 ф*2 (1) 5&Ф» (1) d4 + 5 ф2 (2) (2) dx3 +
+ f І Фі (О I 2 ~ I <Р2 (2) 12 Лх dt,+ f І Фі (2) І 2-ІІ І ф2 (1) I 2 dx dr _ J ^ 12 J '12
- Ur (1) Ъ (1) -f- Фі (2) фз (2) dxi dx*~
J 12
-J Ф*1 (2) Ф2 (2) J- ф! (1) Ф2 (1) dTx dl2| .
Здесь 1-й интеграл равен 2-му, 3-й—4-му, 5-й—6-му и 7-й—8-му, так как как эти пары интегралов различаются переменными интегрирования, а величина определенного интеграла от переменной интегрирования не зависит
1,2 С 1 1,2 С 2
<? \ ftO)?i<fi (і) Лі+Y 2 j IФ/ о і2~I Ф/ (2) 12dx^ dx*~
і і Ф І
1, 2
-1 ? J q>; (1) фj (1) (2) ф/ (2) dx1dxi, (П.8.2)
t =И= /
что совпадает с (2.9) в случае N =2. 2. Из (2.9а) следует
1, N
хА Г . ( - N-V r> e2I (^rdr2
6^=h j dr^ ел {mtfnl (г!)+[ej j — w-
V' f C^n Ar2) ^n (гг) dr2\ 11
u-77-j^y(O) f.
шадлельным \ 12 /yJJ
(по параллельным спинам)
(П.8.3)
Множитель V2 перед двойными суммами в (2.9а) исчезает, так как при варьировании функций функция с данными ri; встречается дважды: один раз при суммировании по і другой раз — по /. Дополнительное условие (2.10а) учтем методом неопределенных множителей Лагранжа. Для этого умножим (2.10а) на —ку, просуммируем по і и /, прибавим к (П.8.3) и приравняем нулю
UN г
2 ) dn б(T1) / SVrtn. (Гі) + ... -JkiJ^nj (Г!)!- 0. (П.8.4)
Ввиду произвольности вариаций бг|>*;. фигурная скобка в (П.8.4) для всех значений і равна нулю. Можно показать, что решения всегда могут быть выбраны так, что матрица к,у диагональна. Обозначая кц = $пг получим уравнение (2.11). 590
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 9
Подставим в выражение (2.116) для 11ец блоховские функции (3.1), считая л,- = Jfe и nj = k'
Uk' (Гх) е>к'г> Л e>uk (r2) (Га) <Г
_ у' uk. (г1)е"'-' Г UkKrl) eikr* J
"ftCiK ' J I г г — г 1 I
dr2.
Заменим в этом выражении г± на rt + a„ и г2 на r2 + a„; последнее сводится к замене переменной интегрирования. Используя свойства периодичности (3.1а) для функций Uh и ик, и сокращая во второй сумме справа мно-i(k'-h)an
житель е , получим, что cUe-H (Гі + ап) равно исходному выражению,
определяющему (Гі), т. е. докажем периодичность tWeff.
Приложение 10
При подстановке (3.1) в уравнение Шредингера (3.7) необходимо вычис-
o2 o2 o2
лить оператор Лапласа V2 = div grad = ^--)-^ "Ь^г 07 произведения двух
функций uk (г) е1кг, зависящих от (г = х, у, г). Легко убедиться в справедливости следующей формулы:
V2 {/ (Г) Ф (Г)} = div grad (/<p) = / V2Ф + фVа/+2 (grad /, grad ф). (пЛОЛ) Полагая f=uk(r) и ф = е,Аг, имеем
grad/ = grad иь, gv ай у = ikelkr, V2/ = V2"ft> У2ф = — Peikri Подставляя эти значения в формулу (П. 10.1), получим
V2(/9)=V2Ke''Ar) = {v4 + 2 і (ft grad Uit)-еікг. (П.10.2) Используя это выражение, легко получить (3.8).
Приложение 11
1. Рассмотрим простейшие свойства, связанные с понятием тензора. Вектор обычно определяют как величину, которая в отличие от скаляра характеризуется не только своим численным значением, но и направлением в пространстве. Простейшими примерами скаляра и вектора являются, например, масса частицы т и радиус-вектор г, определяющий ее положение в пространстве. Как мы сейчас покажем, определение вектора нуждается в уточнении, которое позволит нам одновременно дать определение тензора.
Рассмотрим две прямоугольные координатные системы (xlt x2l X3) и
(хї, х'2, х3), имеющие общее начало координат О. Косинусы углов между осями
л»
обеих систем обозначим через a/ft=cos (XjXk), где t и k независимо пробегают значения 1, 2 и 3.
Поставим вопрос, является ли проекция радиус-вектора г на некоторую ось Xi скаляром. С одной стороны, проекция характеризуется только некото- ПРИЛОЖЕНИЯ
591.
Аналогично
рым численным значением, с другой — при переходе к штрихованной координатной системе—Xi Ф Xi, в то время как скалярная масса т одинакова в обеих системах.
Из аналитической геометрии известно 1J, что проекции радиуса-вектора Г в обеих координатных системах связаны соотношениями
