Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
/=/.+/">?=/,+2/!№. (8-6)
H= 1
что можно рассматривать как разложение f в ряд по степеням электрического поля Eii, с удержанием членов первой степени; так как неравновесная добавка к функции распределения—скалярная величина, то /(10) — вектор, т. е; —компоненты тензора 1-го ранга (Приложение 11). Подставляя (8.6) в (8.5) и отбрасывая члены порядка ?2, получим
Ц- EV J0 =Ef^, (8.7)
откуда (ввиду произвольности Е)
/«°>=yV*/0. (8.8)
Так как равновесная функция распределения /0 зависит от k только через энергию е (As), то
VftZ0 = VftB = f- U, (8.9)
так что
/(10) = е T(B)^v (8.10)
или
f™ = eT (6)-?-O11. (8.10а) Электрический ток, создаваемый электронами 1-го эллипсоида,
Ja) = -e^fv=e^(Ev)vr(s) (-?), (8.11) (ft) (ft)
так как равновесная функция распределения /0 тока не дает. Здесь
E = ' (8.11а) 536 кинетические процессы в полупроводниках ' [гл. IX
обозначает суммирование (интегрирование) по волновому вектору к. Составляющая тока, согласно (8.11), равна
yuW??T(e) = (8.12)
<*) P P
где
= * 00(-?-)^ (8Л2а)
— компонента тензора электропроводности t-ro эллипсоида. Так как VaOj ka и є — четная функция ka, то aa? = 0, если a^= ?, т. е. в главных осях эллипсоида энергии тензор электропроводности диагонален. Таким образом,
= в* ? т (е) (.- ^t) :=е* ?г (є) (.-.If-) Wl, (8.126) (*) (ю) а
где мы перешли к суммированию по w. Учитывая изотропную связь между ей Wa (8.2а), легко показать, что суммирование
по W сводится к суммированию по е, с заменой w\ на V38- Тогда
(8Л2в)
(ё)
Используя выражение для плотности состояний (VI.2.22), получим = W- fs^* = <х>, (8.13)
О
где п(,)—число электронов в одном эллипсоиде, а символ < > прямое обобщение выражения (7.16), в которое он переходит при m1 = m2 = m3 = m. Таким образом,
= т>, (8.14)
а
что сходно с (7.5).
Выберем теперь прямоугольную координатную систему, оси которой направлены по ребрам куба элементарной ячейки кристалла. Компоненты тензора полной электропроводности (от всех эллипсоидов) в этой координатной системе
gjlu = S (8.15)
где Ct^-компоненты тензора (8.14), преобразованные к координатной системе, связанной с осями кристалла. S 8]
явления переноса B германии и кремнии
537
В кубическом кристалле тензор электропроводности ахц равен скаляру а.
Рассмотрим вначале простой случай кремния, у которого минимумы энергии расположены по направлениям <100>. Этим же направлениям параллельны оси вращения эллипсоидов энергии (эффективные массы ти).
Таким образом, в случае кремния главные оси всех шести эллипсоидов энергии параллельны осям прямоугольной координатной системы, совпадающим с ребрами куба элементарной ячейки. Из (8.15) и (8.14) следует
а = ахх — 2 —— <т> + 4 —— <т> = —- <т>, 8.16
mH т]_ т
где концентрация электронов
n = NcnU) = 6na) > (8.16а)
(./Vc—число эквивалентных минимумов) и
Л = —+ —V (8.166)
т 3 Vmll mj_/
Пользуясь формулами преобразования компонент тензора (Приложение 11) можно показать, что формулы (8.16а), (8.166) справедливы и в случае германия, когда главные оси эллипсоидов энергии не параллельны ребрам куба.
Отметим, что выражение (8.166) следует и из того, что 1/т' должно быть пропорционально скалярному инварианту тензора обратной эффективной массы, т. е. его шпуру (следу)
а
(множитель 1/3 может быть обоснован рассмотрением случая скалярной эффективной массы). Подвижность
ц= «. = ?<*>, (8.17)
t^ en т к '
что сходно с (3.3).
4. Рассмотрим эффект Холла в слабом магнитном поле. Для этого надо кинетическое уравнение (8.4) (с Vr/ = 0) решить с точностью до членов порядка Н. Рассматривая опять один эллипсоид, положим в его главных осях функцию распределения
(8.18)
H HV
где Fffl—тензор 2-го ранга (только в этом случае добавка пропорциональная H есть скаляр). Подставим (8.18) в левую и правую части кинетического уравнения
f {/• + і. [©Я]} Vft (/„ + 2 /№ + ? WEiiH^
\ a HV J
+ (8.19)
ц HV 537 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [ГЛ. IX
Согласно предыдущему выражение (ет/А) EVkf0 сокращается с первой суммой, стоящей справа. Так как
[®Я] VftZo = [vH] ^ VkB <ч> [vH] v = 0, то линейный по ? и Я член слева равен
Inj Hx
= ^ivff] ? Elk {v. Vk (тф) +т f. v.,,} . (8.20) и
Так как т зависит только от є, то
и произведение [*>//] на первое слагаемое в фигурных скобках в (8.20) равно нулю. С другой стороны,
VbVtl=-^ell, (8.21)
'"и
если воспользоваться (8.3). Здесь е—единичный вектор по оси ц. Таким образом, в (8.20) фигурирует скалярное произведение
[vH\ е» = [vH],, = 2 ^ayVaHv, (8.22)
av
где бцсп,—символ, равный +1, когда pav—четная перестановка индексов 1, 2, 3; равный —1, когда pav—нечетная перестановка 1, 2, 3, и равный нулю во всех случаях, когда среди индексов pav имеются одинаковые 1J.
В результате из (8.19) следует
tT-ж Z 8^ Zr= Z (8-23)
Hav ^ HV
Сравнивая коэффициенты при EllHv, получим
я»'- T=¦4hr E ¦='-?(-Ir) і E <8-2«
a a
Ток, связанный с добавкой (8.23) к функции распределения, равен
