Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве функции Fjvkykz в (7.3) мы должны взять стационарную волновую функцию свободного электрона в однородном электрическом поле Е.
Как будет видно из дальнейшего, квантовомеханическую задачу о движении свободного электрона в однородном электрическом поле проще решать не в ^-представлении, а в р-представ-лении. Это просто означает, что в уравнении Шредингера надо считать операторами не составляющие импульса (рх =—іЛд/дх и т. д.), а координаты (x = ikd/dpx и т. д.); в этом случае стационарная волновая функция F зависит не от х, у, г, а от рх, py, pz1). Если электрическое поле E направлено вдоль оси х, то потенциальная энергия электрона с зарядом —е равна — (—е) Ех = еЕх. Уравнение Шредингера для электрона в зоне проводимости с массой тс в поле Е\х в /7-представлении
1) Блохинцев Д. И., § 13. 446
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
IГЛ. VII
имеет вид
2
Ек±Л±Л + еЕі%~ 2 тР dPА
MP*, Py, P,) = «А (Р*. Py, Pz)' (8-1)
Здесь Fc(px, ру, рс) — волновая функция электрона в р-пред-ставлении, ес—собственное значение его энергии.
Из (8.1) видно, что в р-представлении волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка, в то время как в х-представлении она удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка *), что делает в математическом отношении задачу более сложной. Полагая
?с(Рх, Ру, Pz) = ^e(Px)Ve(Py)%e(Pz), (8-2)
подставляя это выражение в (8.1) и деля обе части уравнения на Fc(px, ру, р2), получим
Первое слагаемое (в круглых скобках) зависит только от рх, второе—только от ру, третье—только от pz. Так как сумма их постоянна и равна ес, то каждое слагаемое тоже постоянно; для того чтобы удовлетворить этому, положим py = pyc и pz = pzc, где рус и pzc—собственные значения составляющих импульса по у и z; тогда вместо (8.3) получим
= (8.4)
где p2lc = ргус -st ріс-
Волновая функция (8.2) равна.
Рс(Рх, Ру, Pz) = ^c(Px) bPyPycbPzPzc, (8.5)
где Spypyc, Spzpzc—символы Кронекера (мы считаем кристалл ограниченным, так что ру и pz принимают квазидискретные значения).
Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка (8.4) имеет вид2)
(Рх
о
= СеХР {ш [(&-{*-Щ-СРЪ) ^ ]} • (8-6)
Коэффициент С определим из условия нормировки волновой
1) Ландау Л. Д., Лифшиц E М. Квантовая механика, 1973, § 24.
2) Смирнов В. И. т. II, с. 23. $8] ЭФФЕКТ ФРАНЦА - КЕЛДЫША 447
функции i|>c(P*) на б-функцию по энергии, т. е.
QD
S ec)dpx = 8(ec — е'с). (8.7)
— со
Подставляя сюда в левую часть (8.6), получим
QD
IСI2 J ехр (ec-e;) PxJ dpx =
— 00
00
= |сI2(Aef) S ехр{і(єс-є;Ш4ЧС|2(2лАе?)б(єс-є;).
— OD
Здесь мы воспользовались стандартным определением б-функции !). Сравнивая последнее выражение с (8.7), видим, что
C=l/~/2nheE. (8.8)
Для электрона в валентной зоне надо решить уравнение аналогичное (8.3), заменив в нем тс на —mv и гс на гу + гв (&G—ширина запрещенной зоны); последнее для того, чтобы привести отсчет энергии в валентной зоне и зоне проводимости к одному уровню; тогда
PviPx' Py- Pz) = ^v (Px) 8PyPyv8PzPzv' (8-9)
где
ф. (Рх) = с ехр {-±-Е [JjL + ( е. + в0 + J5L Pb ) рх] j . (8.10)
Нормировочная константа С в (8.10) имеет то же значение, что и в (8.8). Определим теперь матричный элемент <,FC\FV>, входящий в Sivc (7.8); имеем
-вс + eG +^c р\с +
<Fc I Fvy — 2 8PyPyc8PzPZc 8PyPyv8PzPZV X PyPz
XlCI2 ^expj-Ji [?+(«.-
— оо
+ ^rvPl ¦>,]}• (8.11)
Здесь р. приведенная масса:
± = ± + _L. (8.11а)
и тс mv v >
Суммирование по ру и pz дает 8pycpyV8PzcPzv ~ 8рХс ^xo- Заменим переменную интегрирования рх, положив
__рх = (2цАе?у/3 и. (8.12)
1) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика, 1973, (15,7). 448
ОПТИКА- ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. VII
Тогда вместо (8.11) получим
= Jexp[-i(? + *a)]da, (8.13)
где частота а
сй?=(<??)2/3/(2цА)1/3, (8.13а)
: j- ^v- є, + є0 + ±- рІс + J-- р. (8.136)
Так как
Jexp —і Jrxuy^du г= ^ ехр і ^ + xti^j +
- се 6
+ ехр J^— і + = 2 Jcos + xu^j du,
(8.14)
то
<Fe\ Ai(x),
где функция Эйри1)
00
Лі (х) = J cos (у+ x«) du.
о
Аналогично (7.8)
Pve = ^ Л0 (e/»„ (0)) <FC \Fvy = J-c Ай (epcv (O)) б
(8.14а)
1
JPi.vPi.c ACU,
Ai(x), (8.15)
где мы использовали (8.14). Наличие символа Кронекера Sf f позволяет при вычислении Wve (7.10) суммировать
(интегрировать) только по р±с = plv == р±, ev и єс; таким образом, коэффициент поглощения света в электрическом поле
аБ-
tWvc _ 2л п ' NcJn % Nc
? I ^1^6(8,-?-^)==
e.V. р^ 2л п ё
СО
(8.16)
где множитель 2 перед последним интегралом учитывает спин электрона.
1)Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики.—M.: Мир, 1970, вып. 3, с. 59. $8]
ЭФФЕКТ ФРАНЦА - КЕЛДЫША
449
При интегрировании по ev мы полагаем в х Bp = Ec—Aco, тогда из (8.136)
Jt = rLoLP2, + ^=^. (8.16а)
1тЕ 2P н± «г
Для электрического поля ? = 3000 в!см и 2р, = 10~27 г, частота (Og= 3* IO12 сек_1. В (8.16а) coG = eQ/fi—частота, соответствующая ширине запрещенной зоны; для г0 « 1 эв со0 « 101? сек'1,т. е. (о0 на два-три порядка больше (оя.
