Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Собственные значения уравнения (5.16)
%2k3
kg) = {2N +1)^//+2^1 (5'196)
вырождены по квантовому числу ky.
Для того чтобы подсчитать число квантовых состояний электрона g(?)d? на интервале энергии ?, ? + d?, наложим на волновую функцию (5.17) условия цикличности по осям у и г, т. е. потребуем, чтобы координатам y±L2, z + L3 соответствовала та же волновая функция, что и координатам у и г. Легко видеть, что для этого необходимо, чтобы
kv = TL "г. K = Tin^ (5.20)
где п2 и п3 — любые целые числа. В самом деле: ехр [iky (у ± ^2)] = = ехр (ikyy) ехр (± Hnn2) = ехр (ikyy).
Пусть толщина тела по оси х равна L1; при этом мы не будем налагать условий цикличности на волновую функцию вдоль х (это неудобно, так как выражение (5.17) непериодично под:), но будем считать, что решение (5.17) существует только в области
0 < Ijc0KL1, (5.21)
так что Ijc0Imax = L1.
Число квантовых состояний для заданного значения ? (N, kz)
' L \
определяется степенью вырождения ПО ky И равно Из
выражений (5.18а) и (5.21) A^iax = |jc0 | max = ^Lu так что интересующая нас степень вырождения равна
еН L1L2. (5.22)
2rihc
Определим теперь число квантовых состояний Z(?), энергия которых меньше Число квантовых состояний с энергиями ОТ S1 = (2N + 1) до S равно
2 \kz I L3 2(2m*)1/2L3 Г-
jFi = 2U VS~(2N+l) ІІ*Н, (5.22а)
где множитель 2 учитывает два знака у kz при определении его из (5.19). Число квантовых состояний с энергиями, меньшими
Подробнее об этом см. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — M., 1974, с. 522. §5] ДИАМАГНЕТИЗМ АТОМОВ И ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ 36(
при всех возможных N равно
Z(S) = 2 ^ у S—(2N + 1) ц*Н. (5.226)
N
Здесь суммирование по N распространяется на все неотрицательные значения подкоренного выражения. Так как степень вырождения каждого состояния (5.226) равна (5.22), то полное число квантовых состояний с энергией, меньшей S, равно
Z = 2 i2m^c V ? [S~{2N + іиі*Я]1/2 ' (5-23)
где V = L1L2L3—объем тела.
Плотность числа состояний на V= 1 см3 без учета спина равна
свободная энергия 1 см3 равна1)
оо (?-е)
Sr=IiZ-2k0T j In (1 + g(S) d? =
= (5.24)
Здесь ti — концентрация свободных электронов, множитель 2 учитывает спин; нижний предел интеграла для каждого из слагаемых (5.23а) равен (2ЛГ + 1)ц*Я. Интегрируя по частям, получим
OO
^ = п^-2 ^f0(S) Z(S) dS, (5.24а)
где /„ (S)—функция распределения Ферми.
Введем новую переменную интегрирования и обозначения:
— -- - ? 6 = A. (5.25)
2ц*Я ' 0 2ц*Н ' ~ 2ц*Я '
Интегрируя (5.24а) еще раз по частям, получим в новых обозначениях:
OO
«F = nz + А Г Ф (е) ± (-^r- \ de, (5.25а)
J Ve 0 +1/
где
P1 _ 16от
ЗлФ
"""W' , Ф(е)=^(е-М-^ (5.256)
N
1) А нее л ьм А. И., формулы (VIII 1.37) и (IX 3.3), 368 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ, ТЕПЛОВЫЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА [ГЛ. VI
и нижний предел интеграла для каждого слагаемого в Ф(є) определяется из условия вещественности соответствующего радикала. Используя формулу Пуассона, получим (Приложение 18)
Ф (8) =4 8'/» --L8I/.
00
= ^E^lsin(2n/e).S(Vl^)-f cos(2iiZe).C(l/4^)], (5.26)
где S (и) и С (и)— интегралы Френеля, записанные в явном виде в (П.18.8а), П.18.86).
При сильном вырождении электронного газа производная
H-T=Ta V-«<"-".) (5-27)
ехр 1
ведет себя как дельта-функция с эффективной шириной максимума порядка ©.
Слагаемые в сумме (5.26) с заданным I осициллируют с периодом 8=1//, т. е. с наибольшим периодом для /=1; поэтому, если 1, т. е.
k0T^>2y*H, (5.28)
то сумма по I в (5.26) даст под знаком интеграла (5.25а) нуль и мы получим
W = Hl0-A (* в'." --^2) , (5.29)
где Eo—энергия Ферми при абсолютном нуле.
Возникает вопрос, не следует ли учитывать зависимость свободной энергии W от магнитного поля через влияние последнего на химический потенциал E- Если химический потенциал E = = E0 + AE, где E0—химический потенциал в отсутствие магнитного поля, то
W (E) = W (E0 + AQ = W (E0) + (? AE + i- (? (AE)2. (5.30)
В состоянии статистического равновесия (dW/<?Е)0 = 0, поэтому изменение свободной энергии
W (E)- W (Е°) =4 (|?)0 (AE)2. (5.30а)
Так как для изотропного тела изменение химического потенциала AE не зависит от направления магнитного поля, то AZcoH2 и, следовательно, в наинизшем приближении
W(Z)-W(Z0)^H*. (5.31)
Таким образом, в приближении, учитывающим в свободной энер- §5] ДИАМАГНЕТИЗМ АТОМОВ И ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ 36(
гии (F члены порядка H3, можно считать ? не зависящим от магнитного поля.
Учитывая значение А (5.256) и е0 (5.25), видим, что и второе слагаемое в (5.29) от магнитного поля не зависит.
Для диамагнитной восприимчивости '% из (5.29) получим
яг і ут т'*/'^;/'
—Ti^--р--
Если подставить сюда ?0 из (2.8а), то непосредственно видно, что по абсолютной величине диамагнитная восприимчивость (5.32)
в ^(j^2 раз больше не зависящей от температуры парамагнитной восприимчивости (4.16а). В случае, противоположном (5.28), когда в s^ 1, имеем
k0T^2n*H. (5.33)
