Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Примером системы с хаотическим аттрактором являются уравнения генератора с инерционной нелинейностью (генератора Анигценко-Аста-хова, 1981) [3]:
X = тх + у — XZ, У = -X, (1.30)
і = -gz + gl(x)x2,
-X
Рис. 1.6. Хаотический аттрактор в модели генератора Анигценко-Астахова (1.30).
I(X) =
{і;
X > 0
ж < 0
Результаты численного решения уравнения (1.30) для значений параметров т = 1.5,0 = 0.2 приведены на рис. 1.6, который также иллюстрирует хаотический аттрактор, как образ непериодических автоколебаний в детерминированной системе.
Заключение
В настоящей лекции приведено общее определение динамической системы и детально описаны динамические системы в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Установлено, что такие динамические системы имеют четыре типа решений: состояние равновесия, периодическое движение, квазипериодическое движение и хаотическое. Этим решениям соответствуют аттракторы системы в виде устойчивого равновесия, предельного цикла, квазипериодического аттрактора (р-мерного тора) и хаотического или странного аттрактора. Важным является то, что простейшие типы квазипериодических и хаотических аттракторов могут реализоваться в динамических системах с размерностью фазового пространства не менее трех. Лекция 2
Устойчивость, бифуркации, катастрофы
Излагаются основные идеи и принципы подхода к анализу устойчивости и бифуркаций режимов функционирования динамических систем.
In this lecture we present the main ideas and approaches to the analysis of stability and bifurcations of different regimes of dynamical systems functioning. 28
Лекция 2. Устойчивость, бифуркации, катастрофы
Введение
Наши представления об устойчивости того или иного режима функционирования динамической системы интуитивно формируются в процессе познания природы и жизни. Первые шаги маленького ребенка дают ему вполне реальные представления об устойчивости при ходьбе, хотя они (представления) еще неосознанны. Глядя на знаменитую картину П. Пикассо "Девочка на шаре", мы как бы на себе ощущаем, что положение равновесия девочки неустойчиво. Взрослея, мы уже можем рассуждать об устойчивости корабля в бушующем море, об устойчивости экономики по отношению к действиям управленцев, об устойчивости нашей нервной системы к стрессорным возмущениям и т.д. В каждом конкретном случае речь идет об отличающихся свойствах, специфических для рассматриваемых систем. Однако, если внимательно вдуматься, то можно найти нечто общее, присущее любой системе. Это общее заключается в том, что когда мы говорим об устойчивости, то понимаем при этом характер реакции динамической системы на малое возмущение ее состояния. Если сколь угодно малые изменения состояния системы начинают нарастать во времени — система неустойчива. В противном случае малые возмущения затухают со временем — система устойчива.
Анализ устойчивости режима функционирования динамической системы является чрезвычайно важным с практической точки зрения. Устойчивость таких систем как автомобиль, воздушный или морской лайнеры по отношению к возмущениям, которые всегда сопровождают их движение, безусловно жизненно важный фактор в самом прямом смысле этого слова.
Еще более важной проблемой является анализ устойчивости сложных многокомпонентных систем. Наблюдая за эволюцией живой и неживой природы, мы можем подметить одно интересное свойство: развитие той или иной сложной системы всегда сопровождается потерей устойчивости одними режимами ее функционирования и рождением новых, устойчивых. Одни формации (или структуры) гибнут, рождаются новые, которые видоизменяются, совершенствуются и затем вновь уступают место новым. Изменения могут накапливаться плавно, а могут происходить скачком в виде катастроф. Формирование новых структур всегда сопровождается потерей устойчивости (даже разрушением!) предшествующих. И здесь скрыта важная проблема: проблема перехода системы из одного режима функционирования в другой, отличающийся принципиально, режим. Предшествующий режим потерял устойчивость, но что при этом может произойти? Система выбирает новый Линейный анализ устойчивости
29
устойчивый режим, который может наследовать некоторые свойства предыдущего, а может быть и резко отличным. В таких случаях говорят о бифуркациях динамических систем.
Приведенные рассуждения являются качественными и приобретают вполне определенный смысл лишь в том случае, когда нам удается перевести их на формальный язык математики. Основы строгой математической теории устойчивости были заложены в трудах крупного русского математика A.M. Ляпунова около 100 лет назад; развитие качественной теории и теории бифуркаций динамических систем связано с именами российских ученых A.A. Андронова, В.И. Арнольда и их учеников.
Попытаемся простыми и понятными примерами проиллюстрировать содержание и методы решения задач об устойчивости и бифуркациях динамических систем [3-5,7,8].
Линейный анализ устойчивости
Любая динамическая система (физическая, химическая, механическая и т.д.) ассоциируется в нашем представлении с эволюцией во времени. Предвидя возражения, укажем, что и состояние равновесия, то есть стационарное состояние, при котором скорость изучаемого процесса равна нулю, также можно трактовать как предельный случай эволюции системы во времени. В естествознании типичной моделью динамической системы является обыкновенное дифференциальное уравнение
