Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(2.1), т. е.
XFa(x, и, р)|8 = 0. (2.4)
Из системы (2.4) получаем уравнения для определения функций ")\ а
следовательно, и способ построения алгебры Ли. Пример 7. Найдем группу
непрерывных преобразований" допускаемую уравнением
Уравнение (2.5) служит для определения функции напряжения в задаче
пластического кручения.
8
Щератор (2.2) для уравнения (2.5) следует искать в виде X = I1 (%, ж2. к)
+V (*ц ж2, и)д|- + n("lt z2, в)-^.
1 " 2 ч
Согласно формуле (2.3) продолженный оператор имеет вид
где Ci-ar, + + Л'аг)*
Действуем продолженным оператором X на уравнение (2.5), ног лучаем
Pi?i "Ь Ps&2 * 0. - (2.6)
Для перехода на многообразие, задаваемое системой (2.5), в уравнении.
(2.6) положим р2= V" 1 - Pi- Теперь после несложных преобразований
получаем
2Г?1, in_e|!,
Р% I дхг ди дх^ ^ Pi у ди дх% ди J Р1 ^ ди дх^ duj
(2-7)
Приравниваем нулю коэффициенты при одинаковых степенях р* в уравнении
(2.7). В результате получим определяющие уравнения
?Ьп"?1!-П дц - о il - о
ди ' ди ' дхх ' дхг 1
i5_?i! = 0 _Ё2] ?11 = 0 ?|_2 4-^ = 0 (2'8^
ди дх2 ' ди дх1 ' дх^ дх2
Интегрируя уравнения (2.8), получим
Т1 = ав + с,, |* =* ах, - Ьхг + ct, |2 = ах2 + bxt + cs,
где а, Ь, с,; сг, с" - произвольные, постоянные. Следовательно,,
уравнение (2.5) допускает группу Gs, при этом базис алгебры Ли U имеет
вид
t
у д д д -wr- д д
Xl ~ U1U. + *10^ + *2 = ~ Х*дГ'
I Я в 1
у 9 у д y д
8 4==^' Ab==S^'
Если требуется вычислить группу G>, допускаемую системой дифференциальных
уравнений второго порядка, а именно такие уравнения в основной и
встречаются в механике сплошных сред, то необходимо воспользоваться
условием инвариантности олреде-
ляемого сист^й мвоадобрайия относительно дважды продолженной группы Gr,
которой соответствует оператор Х = Х + оЪтТ'
где оЪ = 2>,- (?*•) - (Iе), Dj = щ- + р) ^ + гг^.
а2
Ь uh
Aj " ga. дд. i при этом критерий инвариантности имеет вид г j
XF(x, и, р, г)Гв = О, S'; /Ча:, и, р, г) = О,
-Ж = (*1, . . ., Хп), U =(Ы1? . . . , Um), р=(р\, Рп), Г =(г}г, ...,
Гпп). § 3. ИНВАРИАНТНЫЕ
И ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ -ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пусть Gr - группа непрерывных преобразований, допускаемая системой
дифференциальных уравнений
S:F(x, и, р, г) = 0. (3.1)
Оказывается, под действием преобразований группы G, решения системы
уравнений (3.1) снова переходят в решения этой же системы. При этом
некоторые решения системы (3.1) переходят сами в себя, т. е. являются
неподвижными точками относительно действия группы Gr. Такие решения
находить, как правило, проще, поскольку они зависят от меньшего числа
переменных, чем произвольное решение исходной системы.
Пусть Н - подгруппа группы G;, допускаемой системой дифференциальных
уравнений (3.1).
Определение. Решение и = <р(ж) называется Н-инвариант-ным решением, если
многообразие и = <р(ж) инвариантно относительно группы Н.
Алгоритм построения инвариантных решений (Я-решений) состоит в следующем.
Пусть L<=Lr и L - подалгебра, соответствующая подгруппе Н, /,, ..., /. -
полный набор инвариантов, который определяется из решения уравнений
Х"/А = 0, к= 1, "., s; р = 1, ..., I, (3.2)
тде X,, ..., Xi порождают L, а /,, ..., /. - полный набор функционально
независимых решений уравнений (3.2). Инвариантные решения можно искать не
для каждой подгруппы II с: GT, а толь-ко для подгрупп, удовлетворяющих
необходимому условию:
Теорема. Для существования Н-решения необходимо, чтобы rang WdItfduhW =
m. _ - (3.3)
Инвариантные решения строятся следующим образом: m инвариантов /,, ...,
/т,
зависящих от искомых функций и,, ..., ит,
10
назначаются функциями от оставшихся s - m - l инвариантов, -в которые
входят только независимые переменные. Поскольку s = т + п - I, то число
независимых переменных • меньше п и равно п - 1. После подстановки
инвариантного решения в систему S она записывается только в терминах /,,
и называется
системой S/Н, которая, как правило, проще исходной системы S.
Плоские, одномерные, осесимметричные, автомодельные решения- вот далеко
не полный перечень инвариантных решений, широко используемых в механике
сплошных сред и ее приложениях.
Пример 8. Уравнение + (г5г) = ^ из пРимеРа ^ Д°~ -
пускает оператор Хх = и-~- + хг + х2 Построим инвариантное решение на
этой подгруппе. Инварианты имеют вид h =\ = xjx%, h = uJxi. Необходимое
условие (3.2) выполнено, поэтому инвариантное решение следует искать <ъ
виде и - x,u(z), z = Ii. После подстановки этого соотношения в уравнение
получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, (в + вы')2 +
+ z2u'* = 1, которое в данном случае является системой S/H.
Если не выполнено необходимое условие (3.2), то можно искать частично
инвариантные решения, введенные JI. В. Овсянниковым [52]. Пусть
rang Ild/f/duJI => т - 6, (3.4)
где /,, ..., 7т_* - инварианты группы Я, которые удовлетворяют ¦ условию
(3.4). Переходим к переменным
к* = /Да:, и), у,= /т_в+Ах, и) * (3.5)
(i = 1, . ..,т - 6, i = 1, ...,р), p=: п - г* + б, г* = rang1|. '
