Бегство от удивлений. книга для юных любителей физики с философским складом ума - Анфилов Г.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Поставив перед собой эту цель, Эйнштейн шел к ней долго, с исключительным упорством. Надо было влить математическое содержание в идею кривизны четырехмерной пространственно-временной диаграммы. Дать формулы для ее вычисления и, как следствие, для предсказания движений тел в реальном мире.
Отправным пунктом работы послужила общая математическая характеристика кривизны —не что иное, как усложненная и обобщенная форма хорошо знакомой нам теоремы Пифагора.
Напомню, что эта теорема — метрическая, то есть содержит в себе рецепт определения расстояний. На плоскости она имела простейший школьный вид:
S3 = а2 + Ь2.
На искривленной поверхности изменилась: S2 стало не равно а2+Ь2. Не стоит выписывать измененной формы этой теоремы. Скажу лишь, что для определения квадрата расстояния на любой искривленной поверхности а2 и Ьг надо на что-то умножить да еще в формуле появится член с произведением а на Ь. (Тут к тому же а и b будут бесконечно малыми величинами.) Ана-
236 логично изменится вид трехмерной теоремы Пифагора в изогнутом трехмерном пространстве.
А в мире Минковского? На четырехмерной диаграмме быстрых движений?
Эта диаграмма строилась на основе постулатов Эйнштейна. В результате на ней отобразилась связь пространства и времени: появились гиперболические калибровочные линии, отсекающие на разных осях разные масштабы длин и длительностей. Это определило выражение для квадрата интервала (то есть, опять напоминаю, расстояния между двумя событиями в четырехмерном пространственно-временном мире). В двенадцатой главе оно - было записано так: S2 = I2—сЧ2. Расшифровав по «прямой» пространственной теореме Пифагора I2 как сумму x2 + y2 + z2, получим:
Si = Xі + у2 + Z1 — сН2.
Очень похоже на теорему Пифагора, только четвертое слагаемое отрицательно. Но от этого можно. избавиться. Ради симметрии сделаем замену: вместо —c2t2 будем писать т2. Тогда сходство, во всяком случае по математической форме, будет полным.
Таково метрическое правило для измерения интервала на диаграмме частной теории и относительности — без учета тяготеющих масс. Тут мир не имеет кривизны.
Ну, а в искривленном мире выражение интервала усложнится — подобно тому, как усложнилась теорема Пифагора на шаре или седле. Каждый член правой части формулы на что-то умножится, появятся члены с произведениями ху, XZ и т. д. Что же получится?
Дабы подчеркнуть неравномерную кривизну мира, все отсчеты снабдим значком Д (дельта)—это будет означать, что измерения ведутся в достаточно малой области мира, где кривизна его остается постоянной. И тогда (поверьте на слово) интервал между двумя близкими событиями в искривленном мире пространства — времени будет выглядеть так:
AS2 = SiAx2 + ^32Ay2 + ?3:,Л22 + ^r44Ax2 + + 2 gubxAy + 2g13AxAz + 2g14AxAt + 2g^tjAz -Ir + 2?г4Дг/Дт 2g-34AzAt.
237 Множители g, снабженные парой индексов (от 1 до 4), — коэффициенты кривизны. Их всего десять. От них-то, в конечном итоге, и зависит искривление мира. А сами они зависят от масс и расстояний до окружающих тел.
Написанное выражение носит громкий и почетный титул — фундаментальный метрический тензор. Отметив музыкальную звучность термина, воздержимся от расшифровки его смысла (это чистая математика). По существу, здесь не что иное, как усложнение и обобщение «покроя» школьных «пифагоровых штанов» на случай искривленного четырехмерного мира, диаграммы движения в эйнштейновском моллюске отсчета.
В далекой от звезд и планет пустоте при равномерном движении моллюск обращается в аквариум и никакой кривизны мира нет. Фундаментальный метрический тензор становится интервалом специальной теории относительности. В этом случае (при обратной замене т2 на—c2t2) gn=gn=g33=\\ gm=—с2, a gi2=gi3 =
= glt = g23=g24=g34 = 0.
Там же, где нет вокруг полной пустоты, где сравнительно недалеки звезды и планеты, должны иметь место отклонения от этих «нормальных» значений метрических коэффициентов.
Эппиитическаи кривизна
Следующий шаг — разгадка математической зависимости между метрическими коэффициентами и массами движущегося вещества.
Шаг труднейший.
Коэффициентов — десять. Значит, нужно написать систему из десяти уравнений, связывающих эти коэффициенты с массой и расстояниями от точки наблюдения до окружающих тел.
Гений и труд Эйнштейна отыскали эту систему — систему мировых уравнений.
Нам с вами не стоит даже пытаться разбирать логику вывода и выписывать уравнения. Удовлетворимся сообщением, что они существуют.
Еще сложнее и тоньше дальнейшая работа — решение системы мировых уравнений. Тут Эйнштейн и его
238 последователи столкнулись с трудностями поистине титаническими. До нашего времени задача полностью не решена. Добыты только отдельные частные решения, годные лишь ограниченно, при всевозможных упрощениях.
Тем не менее результаты огромны: создана математическая теория тяготения, в которой действительно нет, как таковой, силы тяготения! Есть только силы инерции.
Грубо говоря, дело обстоит следующим образом.
Удалось выяснить, как именно отклоняются от «нормы далекой пустоты» метрические коэффициенты мира около тяжелого тела — например, Земли. На этом материале был установлен «околоземной вариант» фундаментального метрического тензора, то есть, другими словами, характеристика кривизны пространства — времени.
