Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
характером 2, 2созтф, 0; одномерные НП — E+ и (1,1,-1). В отсутствии других НП можно убедиться непосредственным вычислением матрицы D(ov) в базисе, в котором все ?>(ф) диагональны. Операция усреднения по группе выглядит следующим образом:
Обозначения группы: SO(3,i?) = R3 = Оз+. Пространство группы — сфера радиуса п, в которой концы любого диаметра считаются одной точкой. Каждая точка L отвечает вращению около оси OL на угол | OL |. Классу поворотов на угол ф отвечает поверхность сферы радиуса ф. Некоторые параметризации элементов R3: a) (?,?,?) — декартовы координаты соответствующей точки пространства группы, б) (а,0,ф) — сферические координаты той же точки, в) (фі,0,ф2), 0 < фьф2 < 2к, 0 < 0 < к — углы
(3.1)
3.2. Группа вращений в трехмерном пространстве
42 Эйлера (см. рис.). При помощи углов Эйлера произвольное вращение сводится к последовательности трех поворотов у' около осей координат:
L g((plДф2) = ?7<ф2)?0/.(Є)&(ф,) = gOl(u)gz(q>2)gOI, !(0)
-1/
gOb(®)gz( Фі) = gz((pl)gy(Q)gz (Ф1ЫФ2ЫФ1)
я(О,О,фіМО,0,О)я(О,О,ф2)
(3.2)
Выражение матрицы поворота ?(фі,0,ф2) через углы Эйлера:
СОвф^ С08ф2 СО80-8ІПф^8ІПф2 — СОвф^ sin Ц>2 COS 0 — вІГІф^ СОвф2 COS фJ sin 0 вІПф^ С08ф2 СО8 0 + СО8ф^8ІПф2 — sin ф j sin Ф2 COS 0 + СОвфj COS Ф2 sin фJ sin 0 — совф2 sin 0 sin Ф2 sin 0 COS0
(3.3)
Для определения инвариантного интеграла на группе необходимо найти инвариантную плотность р(р\,ръръ) такую, что
р(рьР2,рз)АріАр2Ар3 =Ag = A(g0g) = р(р\',р2',ръ )Api 'Ap2 'Ap3' где g(p\,p2,p®) — произвольно выбранное вращение, (pi 'р2'р3) = (р\,р2,ръ) (рърърз)-
Отсюда:
?(р\,ръръ) = p(pi ',Р2 ',Ръ )
д(Р\\Р2'Ръ)
(3.4)
Поскольку р определяется с точностью до умножения на произвольную постоянную, можно задаться произвольным р(е) = ро. Тогда
P ІРі,Р2,Рз)= Po
д(Рі'(Р°,Р),P2'(Р\PlРз (P^P))
д(Р\,Р2'Ръ)
(3.5)
(Z)=(P)"1
Несколько громоздкий непосредственный расчет через углы Эйлера приводит к результату (задача 4):
0(ф1',0',ф2')
5(ФІ,0,Ф2)
= ^TTr Р(ФІДФ2) = 8ІП0> sm 0
(3.6)
так что
\f(g)dg = \f(gQg)dg = \f(ggQ)dg = {/(9l092)sin0J9l<flMp2. (3.7)
Здесь мы воспользовались тем, что инвариантная плотность как лево-, так и правоинвариантна: dg = d(gog) = d(ggo). Это общее для компактных групп Ли
43 утверждение для группы вращений можно проверить непосредственным расчетом. Инвариантная плотность в других параметрах:
dg = 2(l-cosa)sin0c/cu/0c/cp, j dg = 8ті2. (3.8)
3.3. Неприводимые представления группы вращений
Рассмотрим некоторое непрерывное унитарное представление группы вращений:
D(tQD(sQ = т + s)Q, D(O) = Ё. Дифференцируя по S и полагая затем s = 0 :
im = (Аїі + M2 + МзAi = ^0, dt S^i
где Ai — инфинитезимальный оператор, отвечающий параметру Таким образом,
каждое непрерывное представление полностью определяется своими инфинитезимальными операторами:
) = expA&i = схрС-г./,^, -LJ2Zs2 Л = Ц-, (3-9)
или через углы Эйлера, используя (3.2):
D(Cp1QCp2) = ехр(-ь73ф1)ехр(-ь720)ехр(-ь73ф2). (3.10)
Для унитарных представлений Ai — антиэрмитовы, Ji — эрмитовы. Соотношения коммутации инфинитезимальных операторов:
Anє А, -Апъ A. cos є — A? sin є е 1 е 1 е 1 = е 1 J
, eA^Axe~A^ =A1 cose-A3Sine. (3.11)
Сравнивая члены первого порядка по е , находим:
[JbJi] = LI3, [JbJ3] = Uh [J3,J{] = U1. (3.12)
Для НП тройка инфинитезимальных операторов также неприводима, т.е., не существует нетривиальных подпространств, инвариантных относительно всех трех операторов Ji.
Вычисление матриц инфинитезимальных операторов. J±=JX±U2, [J+,J3] = -J+, [J_,J3] = J_, [J+,J_] = 2J3. (3.13)
Выбираем ортонормированный базис, в котором диагонален J3 :
•hfm =Mfm, J-Zm=Vmfm-U JJm^=Vmfm-
44 Пусть / — наибольшее собственное значение J3, J+fi = 0, ?/+i = 0. Тогда цепочка
векторов, полученных последовательным применением оператора понижения fi, fi_\,
fi-2,... , инвариантна относительно тройки операторов Ji (доказывается по индукции).
Отсюда вытекает ат = ?m* и, как результат действия оператора \J+,JJ\ = 2J3 на эти
I I 2 I I 2 п.
векторы — цепочка равенств | ат \ — | ат+\ \ = 2т, позволяющая последовательно вычислить коэффициенты ат:
^m = (fm-uJ-fm) = ei<Pm Vtf + "0(/-/И+ 1). (3-14)
Подходящим выбором фаз базисных векторов можно обратить все фт в нуль, после
чего базис (канонический базис) оказывается определенным с точностью до общего
фазового множителя. Из (3.14) вытекает, что a/+i = 0 и а_/ = 0, т.е., цепочка векторов fi,
fi-i, ... обрывается на/_/. Так как -I = l-N, N — целое, то вес НП I — либо целое, либо
полуцелое число. Размерность представления г = 21 + 1. Эквивалентность НП
одинакового веса следует из эквивалентности соответствующих инфинитезимальных
операторов.
Тождественное представление D^1 ~ = 1 является единственным одномерным представлением группы вращений. Векторное представление D^ — автоморфизм группы. Канонический базис векторного представления:
Л =-^(ех+іеу)> /о = eZ' /-1 =^J (eX ~іеу)-Матрица НП для поворота около оси z: 0^,(00ф) = е"™ф0тт.. Характеры НП группы вращений-.
