Оптический резонанс и двухуровневые атомы - Аллен Л.
Скачать (прямая ссылка):
б 3. ПОВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА БЛОХА
При использовании лазеров с модуляцией добротности и синхронизацией мод относительно просто получить импульсы с длительностью порядка вескоТиких наносекунд или їй же пикосе-кунд Вместе с тем в случае разреженных газов или охлажденных твердых тел величина Ti зачастую значительно превышает несколько наносекунд При этом атом в кратковременном процессе его взаимодействия с наносекундным или пикссекундным импульсом практически не испытывает затухания Благодари этому динамическую эволюцию переменных диполя можно ис-
2л дг
(4.7)
где введена плотность энергии вещества
U = JC^- J гіД'#(Д )ш(/, г, ДО.
(4 8)
Распространение импульса
87
следовать так, как если бы затухание вовсе отсутствовало Оптические уравнения Блоха принимают тогда следующий вид:
н = — Au, (4.9а)
и == іи -f- (4 96)
ш = — кЙХ (4 9в)
H точно выполняется закон сохранения (4 6)
Прежде чем двигаться дальше, установим интервал длин им путьсов.в котором справедливы сделанные приближения Чтобы игнорировать затухание, должна быть достаточно матой дли теліиость импульса т <Т\, f\. С другой стороны, уравнения Максвелла (4 4) для медленно меняющихся огибающих законны, если длительность т достаточно велика т "2> 1/<о Для широкого кчасса оптически резонансных веществ оба ограничения выпол няготся если значення т лежат в интервале от І0~* до Ю-'3 с Итак существует интервал величиной в нить порядков, в кото I ом т может изменяться без нарушения справедливости наших основных уравнений
В тюбом взаимодействии наиболее существенные эффекты наблюдаются обычно при точном резонансе Поэтому прежде всего мы рассмотрим уравнения Блоха при точном резонансе, ломня что Й* теперь зависит от времени При наиболее простом начальном условии когда все атомы при / = 0 находятся в основном состоянии, получаем u(t.г. Л. = O) — 0 для всех времен В этом случае оптические уравнения Блоха сводятся к паре Уравнений
v = vMw, (4 I O)
W = — K&v, (4. II)
которые уже решались [см (3 I)]-
L(I1 г; 0)=— sinO(/, г), (4.12)
a ff, zr, 0)= — cos 0 (f. г), (4 13)
причем «мої поворота» вектора Блоха по-прежнему эквивален тен «площади» импульса
G(I1Z) = K $ЯГ(г\ Z)Ut'. (4.14)
За исключением того, что в данном случае возможна дополнительная зависимость от положения Z
Пусть Д Ф 0 Поскольку поле S(I-Z) зависит теперь от времени, рішення Раби, содержащиеся в гл 3, вообще говоря, неприменимы Однако разумно предположить, что ш-реюнансные ДЧполн реагируют на поле S так же. как н резонансные, но,
Глава 4
оыть может с меньшей амплитудой зависящей от расстройки Тем самым предполагается законность простой факторизации
v{t, z; &) = v(t, г, O)F(A), (4.15)
где величина F(A) может быть названа днпольнон «спектраль ной функцией отклика» Оказывается что с помощью этого предположения о факторизации удается решить уравнения Блоха полностью Отметим прежде всего, что уравнение (4 9в) немедленно интегрируется, если заменить vjg величиной О согласно (4.15) и выразить v через 6 при помощи (4 12) н (4 15) Результат гласит
w(t, г; A)=-f (A)COsO-T-F^)- I (4.16)
Нетрудно найти также и u(t. г, Д) как функцию ?
Выражая далее величину Дй последовательно при помощи (4 9а) и (4 96) и приравнивая найденные результаты, получаем уравнение для б
к usf (U)
6= X-FiL) Sln°-
хорошо известное в теории физического маятника Более того, можно утверждать что коэффициент при sin 6 не должен зависеть от А, поскольку ни 6, ни sin б не зависят от Д Этот коэффициент обозначаем как г/тг и уравнение принимает про стой вид')
О — sin 6 = 0 (4 17)
Все решения 0 выражаются через полные эллиптические функ ции, характерные для задачи о маятнике [I]
Однако только одно из характерных для задачи о маятнике решений Vравнения для угла поворота вектора Блоха может быть согласовано с граничными условиями которые отвечают единичному HMnyjbcy И & її & должны обращаться в нуль при / = ± оо, а вместе с ними и 6, 0 Эти ограничения отвечают неосциллиру ющему маятнику — ситуации, которая возможна, только если маятник был установлен в бесконечно далеком прошлом вертнкатыю вверх а затем начал падать2) и достигнет опять вертикального положения двигаясь в одном направлении.
•) Формула (4 17) есть уравнение і тори ft выводится из верхнего неустойчивого состояния равновесии —Прим.
г} С н\левой начальной скоростью В противном случае получаются периодические решении, которые не соответствуют одиночному импульсу — Прим. peo
Распространение импульса
в бесконечном будущем Соответствующее решение л 1я o тйково'
0(/, 2)=4arclg[exp(^^-)]. (4.18)
а огибающая электрического поля, которая отвечает такому поведению 6. прелстнвляет собой знаменитый импульс Мак Коала—Хана [2] в форме і пперболнческого секанса
#•(/_ Z) = -J-Sech -Ц~А (4 IQ)
Зависимость О H !? от z неявно содержится пока в I0 Параметр т определяет длительность импульса и яв іяется главной харак терпстиьоп решения Дипольная спектральная функция отклика может быть выражена через длительность пмпу льса в расстройку
и является очевидно лоренцевон
Можно получить также точные аналитические решения для атомных переменных Проще всего ато сделать, используя соотношение cos(0/2)=—th [(/—/0)/т) В результате получаем |2|
