Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Первое условие означает, что сумма всех сил, действующих на шар, равна нулю. Если записать это условие в проекции на ось ОХ, направление которой совпадает с направлением ускорения свободного падения g, то оно будет иметь вид:
Tl + T2 +F3-F1-F2=O, (1)
где символами Т, и Fj обозначены модули соответствующих сил.
Второе условие сводится к требованию, чтобы была равна нулю сумма моментов всех действующих на шар сил относительно любой оси. Поскольку все силы, действующие на шар, лежат в вертикальной плоскости, в которой лежат точки крепления нитей к шару, то с учетом выполнения соотношения (1) второе требование эквивалентно требованию равенства нулю суммы моментов всех действующих на шар сил относительно любой горизонтальной оси, перпендикулярной ранее указанной вертикальной плоскости. Выберем из всех подобных возможных осей ту, которая проходит через точку крепления первой нити к шару. Тогда, вспоминая, что момент силы относительно оси равен произведению плеча силы относитель-
81 Решения задач. Механика
но этой оси на величину силы, и считая моменты сил, стремящихся вызвать вращение шара по часовой стрелке, положительными, получим:
RF3 + 2RT2 - RF1 -1,5RF2 = 0. (2)
Поскольку объем шара радиусом г равен V(г) = 4яг3/з, модули сил Fb F2 и F3 должны удовлетворять соотношениям:
F3 = 4nR3Plg/3 = &F2, Fl=F3Pfpl. Из этих соотношений и уравнений (1) и (2) следует, что
Zl = _?__H т2 = р 13
F3~2Pl 32 И F3 "2р, 32"
На основании последних соотношений можно утверждать, что обе нити будут натянуты, если отношение плотности жидкости К ПЛОТНОСТИ Ml-териала шара будет больше 15/16, т.к. отношение модулей не равных нулю векторов должно быть величиной положительной.
1.14. По условию задачи чашка с песком после удара совершает вертикальные гармонические колебания. Такое движение, очевидно, возможно лишь при соблюдении следующих условий. Во-первых, на движущиеся части этой системы не действуют диссипативные силы, т.е. не действуют силы сопротивления со стороны окружающей среды, а силы деформации пружины являются полностью упругими. Во-вторых, результирующая действующих на чашку с песком сил тяжести и сил, обусловленных деформацией пружины, направлена вертикально и совпадает с осью пружины. Наконец, песок остается неподвижным относительно чашки, движущейся поступательно. Поэтому, если считать, что между отдельными песчинками и чашкой отсутствуют силы притяжения - песок свободно лежит на чашке - максимальное ускорение песчинок, направленное вниз, не может превышать ускорения свободного падения g. Вспоминая, что при прямолинейных гармонических колебаниях с частотой ю амплитуда ускорения в ю2 раз превышает амплитуду смещения, можно утверждать, что задача будет иметь решение, если 4TI1AIt1 <g,T.K. (U = 2n/T .
82 Фіаический факультет МГУ
Будем, как обычно, считать лабораторную систему отсчета, в которой покоится стол, инерциальной. Тогда можно утверждать, что перед ударом в положении равновесия величина деформации пружины ДL, масса чашки с песком M и жесткость пружины k должны удовлетворять условию: Mg = kAL. Поскольку при максимальном смещении чашки с песком вверх величина деформации пружины станет равной AL- А, то чашка останется в этом положении, если с нее резко сбросить такую массу песка т, что (М - m)g = (AL- A)k, т.е. искомая масса песка должна быть равна т = Ak/g. Определить жесткость пружины можно, воспользовавшись законом сохранения механической энергии. Действительно, систему «чашка с песком - пружина - Земля» при сделанных выше предположениях можно считать изолированной консервативной. Поэтому приращение потенциальной энергии этой системы при подъеме чашки из положения равновесия на максимальную высоту должно быть равно кинетической энергии чашки в положении равновесия, т.е. M g A+ (AL- A)2k/l-(AL)2 кIl = = M v\jl или к A2 /2 = M i/q /2. Учитывая, что при заданном движении амплитуда скорости в со раз превышает амплитуду смещения, т.е. у0 = со A = 2пА/Т, получим к = An2M jT2. Следовательно, массу чашки с песком необходимо уменьшить на величину
4 -K2AM
m =-Z-.
gT2
Поскольку, как было выяснено выше, решение задачи возможно при выполнении неравенства 4п2а/т2 < g, найденная масса т меньше первоначальной массы M чашки с песком, а т.к. чашка легкая, то полученное выражение является ответом на вопрос задачи.
1.15. По условию задачи шайба движется прямолинейно в горизонтальной плоскости. Будем, как обычно, считать, что система отсчета, неподвижная относительно льда, является инерциальной, а ее ось OX совпадает с направлением движения шайбы. Будем также считать, что влиянием воздуха на шайбу можно пренебречь, а действующая на шайбу сила сухого трения скольжения не зависит от скорости шайбы и равна максимальному значению силы сухого трения покоя. Тогда на основании второго закона Ньютона можно утверждать, что уравнение движения шайбы в проекции
83 Решения задач. Механика
на ось OX должно иметь вид: mx = ~\xmg = -kmgx, где т - масса шайбы, a g - величина ускорения свободного падения. Из полученного уравнения следует, что ускорение шайбы х прямо пропорционально смещению шайбы от границы участка и направлено к этой границе, т.е. изменяется так же, как ускорение груза пружинного маятника. Следовательно, закон движения шайбы, начиная с момента времени / = О, когда шайба попадает на посыпанный песком участок, до момента времени t = т, когда шайба останавливается, должен иметь ВИД x(t) = Xmax sin СО/ , где СО = yfiTg . Поскольку скорость шайбы в указанный промежуток времени изменяется по закону v(t) = x(t) = соXmax cosco/, то момент остановки шайбы должен удовлетворять соотношению: сот = л/2. Таким образом, искомый промежуток времени равен
