Задачи вступительных экзаменов по физике. Выпуск 8 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
По условию задачи космический корабль находится на таком расстоянии г от Земли, что гравитационные силы, действующие на него со стороны Земли и Луны, уравновешивают друг друга. Это согласно закону всемирного тяготения возможно только в том случае, если с учетом ранее сделанных предположений выполняется соотношение: w 3Д2 = = Tttjl/(Rn-I-)2 . Поскольку по условию задачи W3/тл = к, то радиус орбиты корабля г = IkRsi/(1 +4k). Следовательно, центростремительное ускорение корабля определяется соотношением: ат =аґг = g % k/[n2(l + -Jk)]. Поскольку действие Земли и Луны на корабль взаимно компенсировано, а действием всех других небесных тел мы пренебрегаем и считаем геоцентрическую систему отсчета инерцнальной, вычисленное ускорение может быть обеспечено только за счет работы двигателей самого корабля. Пренебрегая размерами корабля по сравнению с радиусом его орбиты, следует считать, что такое же ускорение относительно инерциальной
Физический Факультет МГУ : 36 Олимпиадные задачи и задачи вступительных экзаменов по физике. Вы>:.8
системы отсчета имеет и космонавт. Поэтому на основании второго закона Ньютона получаем, что на космонавта корабль должен действовать с силон F = m ат. Следовательно, согласно третьему закону Ньютона вес космонавта в системе отсчета, связанной с кораблем, равен
PxJjhjJL.
(1 + Л/*)я2'
1.13. Если пренебречь затуханием и учесть, что масса резиновой полоски много меньше массы груза, то уравнение его движения в проекции на ось ОХ, направленную вертикально вниз, при малых колебаниях вдоль этой оси согласно второму закону Ньютона и закону Гука можно записать в виде:
т x = —k (х0 + х) + т g,
где к - жесткость полоски, хо - деформация полоски под действием неподвижно висяшего на ней груза, х - смешение груза от равновесного положения, g - ускорение свободного падения. Поскольку при равновесии груза сумма сил, действующих иа него, должна быть равна нулю, то т g = k хс, и уравнение движения груза примет вид: ^
тх^-кх.
Следовательно, при соблюдении указанных предположений малые вертикальные колебания груз будут гармоническими, причем период этих колебаний должен быть равен
Hr ¦
Определить жесткость к резиновой полоски можно, например, из еле-, дующих соображений. Действие избыточного давления Др в трубке, изготовленной из того же листа резины, из которого вырезана полоска, должно уравновешиваться силами натяжения резины. Согласно закону Гука линейная плотность сил натяжения, обусловленных увеличением радиуса трубки, т.е. величина силы натяження в расчете на единицу длины трубки равна - : __
36
Физический іЬакультет МГУ Решения задач. Механика
. _ , 2л(г + Аг)-2лг ,.,Ar
/ = Eh-і---= Eh —,
2л г г
где E - модуль Юнга, a h - толщина листа резины. С другой стороны, величина силы избыточного давления Af, действующей на узкую полоску трубки единичной длины, равна
Af = (г + Ar) Aa Ap, где Aa- величина центрального угла, под которым видны края этой полоски. Написанное выражение справедливо при условии, что Aa -> 0. Условие равновесия рассматриваемой полоски трубки, обратившись к рисунку, на котором показано ее поперечное сечеиие, можно записать в виде:
Af = 2 /sin Да/2 или^учитывая, что Aa —> 0,
А/" =/Да.
Подставляя в это соотношение полученные ранее выражения для Af и /,получим Eh={\ + rjAr)rAp. Наконец, учитывая, что жесткость полоски k =EbhfL, после алгебраических преобразований найдем искомый период колебаний груза:
~ - I mL T = 2л J---- .
У (I+.г/Ar) г b Ap
1.14. Будем предполагать, что при заданном смешении бруска деформация пружины является полностью упругой. Тогда на основании закона Гука можно считать, что на брусок со стороны пружины в -момент отпускания действует сила /Гпр =к AL, направленная горизонтально вдрль оси пружины. Действующую же на брусок силу реакции плоскости можно представить в виде двух состашіяюших: перпендикулярной и параллельной этой плоскости. Величину нормальной составляющей > силы реакции N можно определить на основании второго закона Ньютона, предполагая, что система отсчета, неподвижная относительно этой плоскости, является
Физический факультет МГУ
/
37 Олимпиадные задачи и задачи вступительных экзаменов по физике. Вып. 8
пнерииальной. а брусок может двигаться только вдоль данной плоскости. Пренебрегая действием на'брусок воздуха, получим: N - т g = 0, где g — величина ускорения свободного падения. Согласно закону Кулона при неподвижном бруске максимальная величина параллельной составляющей силы реакции - силы сухого трения покоя - равна и N. Поэтому при k AL < и т g брусок после отпускания должен оставаться неподвижным. Если же k AL> и т g, то после отпускания брусок начнет двигаться с некоторым ускорением. Поскольку линия действия силы со стороны пружины проходит через центр масс бруска, а сила трения направлена противоположно его скорости, брусок будет двигаться поступательно. При этом деформация пружины будет уменьшаться, а, следовательно, должно уменьшаться и ускорение бруска. В тот момент, когда сумма действующих на брусок сил обратится в нуль, скорость бруска станет максимальной.. Если, как обычно, считать, что величина силы сухого трения скольжения не зависит от скорости и равна максимальному значению силы сухого трения покоя, то, пренебрегая в соответствии с условием задачи массой-пружины, величину деформации Ax пружины в интересующий нас момент легко вычислить из соотношения k Ax = рт g. Вспоминая выражения для расчета кинетической энергии поступательно движущегося твердого тела, потенциальной энергии упруго деформированной пружины и учитывая, что смешение бруска к этому моменту станет равным AL-Ax, на основании закона изменения механической энергии можно утверждать, что максимальная скорость Umix бруска должна удовлетворять уравнению:
