- .
( ):
+ ... -4-jtfe —► iV-+ ... +я„, (2.19а)
А + N + Я] + ... + Л/i —*■ В + N + nk+l 4- ... + пп. (2.196)
По сравнению с процессом (2.19а)
(Мягкие пионы) + N —■► (Мягкие пионы) + N
процесс без мягких пионов сводится к тривиальному переходу N-*N. Выражение (2.196), напротив, описывает
7 Зак. 583
98
Глава 2
испускание п мягких пионов в том случае, когда без мягких пионов мы имеем нетривиальный процесс рассеяния А + М~* В + N. Запишем 4-импульсы п мягких пионов в виде
<7i = |Qi, .... qn = lQn, (2.20)
так что £->-0 соответствует переходу к пределу мягких пионов. В этом пределе матричный элемент процесса (2.19а) является величиной порядка |. [Например, матричный элемент испускания одного пиона с нуклонной линии пропорционален й (р2) у5и (рi)= -|Ql0« (р2) У5Уаи (pi)/(2MN), где qla = |Q10 = (р2 — р\)а.] Правила Вайнберга для многих пионов определяют главный член порядка | и не определяют членов порядка |2 и выше. С другой стороны, при | —► 0 матричный элемент процесса (2.196) есть величина порядка 1; его главный член также определяется правилами Вайнберга, члены же порядка £ и выше остаются неопределенными. В обоих примерах все градиентные вставки и цепочки коммутаторов дают вклады одного и того же порядка по | (основные вклады).
Рассмотрим теперь испускание одного мягкого пиона в присутствии внешнего электромагнитного или слабого возмущения. Обобщение на случай испускания многих мягких пионов производится так же, как это было сделано выше. Воспользуемся тождеством
■^Т(ЦЧх)т)=т1^ 3f(*)2(0))+6(*°)[3fM, 2(0)],
(2.21)
где 2 —лагранжиан электромагнитного, полулептонного или нелептонного взаимодействия. Беря матричный элемент этого равенства между (р| J dixeic',x и |а) и интегрируя по частям, получаем
<Р I J d*x е**'хТ gf (*) 2 (0)) | а) -
= - iqx <р | J d'x еЧ‘*Т (Ъ? [х) 2 (0)) [ а) - (А)
- О | J d4x eiq'xb (х°) [g® (х), S (0)j |а). (Б) (2.22)
Низкоэнергетические теоремы для пионое 99
Благодаря частичному сохранению аксиально-векторного тока левая часть равенства (2.22) пропорциональна матричному элементу испускания пиона в процессе а->р в присутствии возмущения 2. При q-+ О в член (А) дают вклад лишь вставки ^ во внешние линии амплитуды (р|?|а) без пиона. Наконец, член (Б) при <7-»-О переходит в одновременный коммутатор аксиального заряда F/ с лагранжианом возмущения
(Б) = - <р | И (0), 8 (0)] | а) + О (q). (2.23)
Как видно из приведенных в гл. 1 выражений для электромагнитного, слабого полулептонного и слабого не-лептонного лагранжианов, алгебра токов позволяет вычислить (2.23) для всех этих случаев. Подытоживая, мы видим, что матричный элемент испускания мягкого пиона в присутствии возмущения 2 может быть выражеи через матричные элементы (|3 (2 | а) и (3 |[F/, й]|а). Обобщение кирального формализма на случай присутствия внешнего возмущения было проделано Намбу и Шрауне-ром [3]. Они предвосхитили многие результаты, которые позже были получены с помощью равенства (2.22).
Оценка ошибки при вычислении испускания пиона в присутствии возмущения делается так же, как ив рассмотренном выше случае сильного взаимодействия, и мы не будем на этом подробно останавливаться. Мы лишь подчеркнем одно обстоятельство, которое кажется очевидным, но на которое часто не обращают внимания. Если матричный элемент испускания п мягких пионов по кинематическим причинам является величиной порядка ql ... qn, то непосредственное применение алгебры токов не дает о нем никакой информации. Это следует из того, что при применении алгебры токов мы пренебрегаем неполюсными членами в выражении
