- .
( ):
Правила сумм
269
§ 6. Правила сумм как дисперсионные соотношения без вычитаний
В литературе обсуждаемые правила сумм обычно выводят с помощью теории дисперсионных соотношений, а не путем предельного перехода | Р | —> оо. Мы приведем здесь пример дисперсионной техники, из которого будет понятно, почему эти два метода всегда эквивалентны. Мы проиллюстрируем это на примере правила сумм, вытекающего из дважды проинтегрированного коммутатора [/'н-гг, 2F3, который обсуждался
в первой половине § 2.
Для дисперсионного вывода этого правила сумм нужно рассмотреть запаздывающий коммутатор
R (Р, q) = i J 0 (*°) е1ч'х X
X Ф (Р) I (*), a«gSl,2 (0)] | р (Р)> Л, (4.50)
где функция 0(д:о)=1 при jc°> 0 и равна нулю при л:°<0. Разлагая коммутатор в выражении (4.50) по полному набору промежуточных состояний и используй трансляционную инвариантность при интегрировании по пространству, получаем
<4-5»
где А (Р, q) определяется равенством (4.5), а правило обхода сингулярности при q'° = q° задается путем введения малой положительной мнимой части q°. Связь между функцией R (Р, q) и правилом сумм легко обнаружить, учитывая, что
»>L - / (4-52>
19»=0
q=0
где мы использовали соотношение (4.6).
Чтобы использовать теорию дисперсионных соотношений, мы должны быть уверены, что R является скалярной функцией v и q. Величина А, безусловно, является скаляром, но соотношение (4.51) не означает
270
Глава 4
непосредственно, что и R — скаляр; причина этого состоит, конечно в том, что элемент контура интегрирования dq'° ПРИ фиксированном q' неинвариантен. Однако из выражения (4.50) для R в конфигурационном про-
дпВ?- /г (0) не слишком сингулярен вблизи х° = 0 (т. е. при равных временах), так что его умножение на инвариантную функцию 0(x°) приводит к определенной величине, то R является' скаляром'). Мы предположим, что это ограничение на степень сингулярности коммутатора выполняется.
Если R является функцией только v и q2, то равенство (4.52) можно переписать в виде
Вывод нужного нам правила сумм в теории дисперсионных соотношений производится следующим образом. Стандартным и строгим результатом теории дисперсионных состояний является то, что R (v, 0) — вещественная аналитическая функция v, абсорбтивная часть которой равна /4(v, 0). Пусть ^<-)(v, 0) —нечетная по v
Тогда, дополнительно предположив, что R{~] (v, 0)/v —*■ 0 при v—>-оо, можно написать дисперсионное соотношение
Правило сумм с q2 = 0 (4.9) следует непосредственно из соотношений (4.53) и (4.54), так как Л<~)(У', 0) является четной по v' частью A (v', 0).
') Любые нековариантные члены в R должны быть полиномами по q°, поскольку из соотношения (4.51) следует, что R является аналитической функцией q° со скалярной абсорбтивной частью. В обычных доказательствах дисперсионных соотношений для рассеяния адроиов, когда интересуются только установлением аналитических свойств функции R, эти полиномы можно опустить. В правиле же сумм нельзя пренебрегать никакими частями в R.
