- .
( ):
(р (Р) | р (Р')> = (2л)3 2Р°б3 (Р - Р'),
где Р° = {М\ + Р2)к (в приложениях р будет обычно протоном). Рассмотрим правило сумм, которое получается, если взять матричный элемент между состояниями <Р (Р) I И 1Р(Р)> от одновременного коммутатора двух аксиально-векторных зарядов:
(H[J йъхЪ?+ ii(*), | cf ylf\-а (г/)] ] Р (Р)) |
= 2<р(Р) | J (х) |р (Р)> = 2/3 (Р) (р(Р) | р (Р)>, (4.1)
где ^1°±(2 = 5Г ± и мы воспользовались тем, что интеграл по пространству от $з есть третья компонента изоспина. Преобразуем левую часть равенства (4.1), разложив произведение операторов по полному набору промежуточных состояний | п) и использовав трансляционную инвариантность, т. е. равенство
<Р (Р) I W | п) = exp [i (Р - Рп) ■ х\ (Р (Р) | s° (0) | п).
16*
244
Глава 4
Проинтегрировав по пространству, получим (2л)3 2(I(Р(Р) I Si+i2 (0) | га) |2 —
П
- | <Р (Р) 18“ 12 (0) I п) I2) б3 (Р - Р„) = 4Р% (Р), (4.2)
где мы использовали свойство Si+i2 = (3i-*2)+ и сократили обе части на (2я)363(0). Сложность соотношения
(4.2) становится явной, если вычислить квадрат переданного импульса q2 = {P — Pn)2 между состояниями 1Р(Р)) и | п), входящими в правило сумм. Поскольку Р = Р„, величина q2 = (P° — Р°)2 всегда положительна, за исключением специального случая, когда |га) = |Р) (в- этом случае ^2 = 0)..Если бы величина q2 была отрицательной, матричный элемент 1<Р(Р)18“й(0)|я>| можно было бы определить из сечения реакции слабого взаимодействия ve + р -> е + (состояние п), но существует простой кинематический факт, что область q2> 0 недоступна в экспериментах по рассеянию нейтрино. Единственный способ, с помощью которого можно было бы измерить матричные элементы при q2> 0, состоял бы в наблюдении распада (состояние n)-*p + ve + e (что возможно почти всегда) или в постановке опытов на встречных пучках ve и е! С другой стороны, можно попытаться оценить (Р(Р) 18и-«2(0)|«), используя гипотезу о частичном сохранении аксиально-векторного тока, но она надежна только для малых q2 (q2^.M2), в то время как в сумме по состояниям величина q2 возрастает неограниченно с увеличением массы состояния | п). Наконец, есть еще одно затруднение: мы не имеем возможности оценить быстроту сходимости суммы по промежуточным состояниям, что является, конечно, серьезной проблемой, так как в приложениях сумму по состояниям всегда приходится обрывать. Эта трудность также связана с тем, что q2 увеличивается с ростом массы состояния | п), поскольку если бы величина q2 оставалась фиксированной в сумме по состояниям, то можно было бы воспользоваться нашими знаниями о рассеянии при высоких энергиях и сделать некоторые правдоподобные догадки
о скорости сходимости.
Правила сумм
245
Таким образом, использовать правила сумм, в которых q2 меняется при переходе от одного промежуточного состояния к другому, очень сложно, и мы покажем в § 2, как вывести правила сумм, в которых величина q2 остается постоянной, не зависящей от | п). Заметим, однако, что существуют правила сумм, которые нельзя свести к правилам с фиксированным квадратом переданного импульса q2. В частности, мы увидим, что правила сумм, получающиеся из коммутаторов пространственных компонент токов, как раз такого типа. Поэтому было бы неразумно отбрасывать правила сумм с переменным q2 как совершенно лишенные практического значения. Некоторые приложения этих правил сумм были рассмотрены Бьетти [5]. Его работа может служить иллюстрацией как техники, так и трудностей использования таких правил сумм.
