Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
дре dfj-i '
2. Вершинная часть для малых передач импульса.
Прежде всего, рассмотрим вершинную часть с малыми передачами импульса. Ввиду того, что ионы здесь весьма существенны, мы применим температурную технику. Поправка первого порядка к выражению (22.4) изображается двумя диаграммами типа рис. 60, а. В одной из них петля образована электронами, а в другой — ионами. Хотя эта поправка
>о<
SJ
Рис. 60.
содержит добавочный множитель е2, но в нее входит также • Поэтому при малых передачах она может стать существенной, и нам необходимо просуммировать цепочку диаграмм, изображенных на рис. 60, б, с любым количеством электронных и ионных петель !).
') Такое суммирование для системы с кулоновским взаимодействием было впервые проделано Гелл-Манном и Бракнером [37]. 250
ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
(ГЛ. IV
В результате оказывается, что все вершины — электрет-электронная, ион-ионная и ион-электронная — множатся на один и тот же множитель, т. е.
с/12 <">J = —f-4пе2 _-~-—-"T =
V [l+ 1^r(Же (к, *т) + Z2Sii (к, ®m))J
— 4ne2Z,Z2 . (228)
к»+ ^ ISLeik, *т) +Z2St І (к, »,„)]
здесь ЧЬт=1ъТт, где т — целое число, Sie соответствует электронной петле, a SCi—ионной.
Как уже отмечалось, ионы мы условно можем считать ферми-газом. Поэтому вычисление SCе и Ж і на первом этапе идентично:
K = -27Iif
dp 1
(2ті)3 (iZn—Ч (P) + НО (f*n + Zcom —н (р+к)+р)
п
2 T С -Jp__1___уг_1-
J (2л)3 шт — йа(р + к)+ E0 (P) ^d L Un — E0
(P) + *
п
1
I -f шт) — Zo(P + k) + l>.
ь
— 27 С -JS-__-_V
х Sb
(2л)3 Ыт - E0 (р + /г) + E0 (P) 2 (e0(P)- (x)
K2T2 (2п+ I)2 + (E0 (P)-PY
п> 0
2(Е0(Р+Й)-[Л)
Л27'2(2Я+1)2 + (Е0 (р + к)-р)
] =
= CjP__\_V
J (2л)з шт-4(р + к)+4(р) Л
X [th ^rtpt _ th Io(PjTk)-P-^ =
_ 2 f - dP п ІР+ k)~n(P)
(2/COm — E0 (р +- ft) f E0 (р)
, (22.9) § 22J некоторые свойства вырожденной плазмы 251
где для электронов п(р)==-7-т-, а для ионов
?о \Р) Ij-
е т +1
[J--So (P)
2я (р) = е т . Здесь была использована формула
S (22Л0)
Я> 0
Мы будем предполагать, что Средний импульс
иона имеет порядок J^MT и, согласно (22.2), значительно больше р0. Благодаря этому, разлагая выражение (22.9) по к, его можно упрощенно записать в виде
JTA-J-S/^Лт^Ш- <22.11,
Рассматриваемая вершинная часть зависит только от k и (вт. Благодаря этому ей можно сопоставить некоторую ©-функцию, передающую электромагнитное взаимодействие между частицами. Действительно, рассмотрим, например, следующую величину:
® (Tl — Г2' — = (Ф. (Vi) Фр (V2) (Vi) Фэ (V2) )>•
где (...) употребляется в смысле обычного температурного усреднения. Нетрудно убедиться в том, что фурье-образ этой величины по переменным T1 — т2 и гх — г2 обладает всеми свойствами бозевской температурной гриновской функции. С другой стороны, этот фурье-образ, очевидно, равен
«О = «"»J </«(*. ^m) Жe(k> «V>-
То же самое относится и к другим вершинам с малыми передачами.
Отсюда делается понятным, как перейти от температурных функций к временным. Как известно, для такого перехода в случае гриновской функции достаточно найти функцию, аналитичную в верхней полуплоскости переменной w и совпадающую в точках Iwm = і • 2izTm с температурой гриновской функции. Так определяется запаздывающая функция Dr. Настоящая гриновская функция равна Dr при ш > 0 и Dr при и) < 0. 252
теория ферми-жидкости
(гл. iv
Эта процедура легко может быть проделана для функций Же и Жї (Получающиеся при этом функции мы обозначим IIi.) Из интеграла (22.11) следует, что для этого необходимо произвести замену iwm —> w -)-/S sign ю. Поскольку в диаграммах, составляющих функцию SD (А, шт), зависящими от wm являются только множители Ж"' т0 таким же способом мы можем получить функцию D (k, ш). То же самое, очевидно, относится и к функциям Г (k, ш) ')• Таким образом, временные вершинные части Г (k, ш) выражаются теми же формулами (22.8), (22.10), где, однако, сделана замена iwm—> ш —j— /5 sign со. Появление добавки к A2 в знаменателе Г есть не что иное, как дебаевская экранировка кулоновского взаимодействия. В общем случае она делает взаимодействие запаздывающим (т. е. Г зависит от со).
Рассмотрим теперь поведение Г в зависимости от соотношения между и) и k. В случае w<^vtk формула (22.11) дает:
<Г =П = —?7-. = 11. = -1^-. (22 12) Ле—11е— у dlXg • JLi-uI-V dpi к ¦1 >
I dN N п По порядку величины -у- —j---^f-. Для электронов
tv
V dp Vp ' 2
0 а для ионов р.,.— TIn Т. Поэтому IIi^IIe
т
где
Из формул (22.8) и (22.11) получаем:
Г12 = 4"f Z'f2 , (22.13)
k -(" у.2
Г 4,iZ2e2N-
%. = у -yj—-—обратный дебаевский радиус ионов.
В области |со|^>гі^ Пг имеет вид
Поскольку при \w\<^vek Пе — —р0т, то ионная петля будет преобладать над электронной до тех пор, пока
') Такая процедура, правильная для отдельных членов ряда, может быть неприменимой к его сумме. Однако в данном случае можно убедиться, что она приводит к правильному результату. § 22J некоторые свойства вырожденной плазмы 253
