Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') Эти результаты получены Л. Д. Ландау и Л. П. Питаевским и частично опубликованы в ]35]. 216
теория ферми-жидкости
(гл. iv
перейти к представлению взаимодействия по отношению к НМ) то, разлагая О-функцию в ряд по bU с точностью до членов первого порядка, получаем:
SGstfi (X, х') = -fd*y bU (ty) (х)^ (у)фт (у) фр (*'))> -
- (хЦ? (х) )> (у)фт (у))}.
Здесь ф — гайзенберговские операторы взаимодействующих частиц в отсутствие поля bU. Воспользовавшись формулой (10.17), получаем:
SGap (X, X') = 8а? f d*y bU (Zy) G (х-у) О (у — х') -
— і J d*y d4xx . .. dAxA IU (ty) G(x — X1) G (у — x2) X
X G (x3 — JC') G (JC4 — у) Гат; Зї (JC1, х2; х3, xi). Переходя к фурье-компонентам, имеем: 80а3 = 8а? Q(P)IU (со) G (/, + A1) — Ю (р) G (р + A1) X
X / Гвт, рт (р. q\ A1) G (9) W (со) G + A1) ,
где A1 =(0, со).
Ввиду того, что поле bU не влияет на спин частиц, SGap
должно быть пропорционально Взяв і Sp, получаем:
8G = G (р) bUG (р -+- A1) — Ю (р) G(p + Ю X
XyJ ГаР, a? (/>, д; К) G (q)bU (ш) G(q+ A1) -Ц-.
С другой стороны, если добавить в гамильтониан член
8?У (Z) J ф+ (г) (г)dr = bU(t)N,
то в пределе bU-> const функция G просто умножится на e-iaU(t-v)t чт0 соответствует добавлению к S члена — bU.
Таким образом, в пределе со->0 — Таким обра-
зом, находим:
dTt-[О2 (P)), Ь-if 1^. * (Р. ф !O2 т. (gr] . § 19] эффективная масса 217
где (G2O)Jco = Cp (см. (18.4)) означает предел G (р) О (р -\-kx) при си—>0. Рассмотрим это соотношение вблизи полюса G(p). В этом случае G (р) можно записать в форме (18.1). Поделив на —{G2(/?)}M, получаем первое соотношение
(19.1)
Второе соотношение мы получим следующим образом. Допустим, что частицы обладают бесконечно малым зарядом Ъе и система помещена в слабо неоднородное по пространству и постоянное во времени магнитное поле. В гамильтониане к
оператору импульса добавляется в этом случае член — Если заряд Se очень мал, то изменение гамильтониана выражается членом — ^f фзГ (г)рА (г) ф« (г) dV, где р — оператор
импульса. Изменение гриновской функции при этом получается так же, как и раньше:
Ю = -G(p) ^(pA)G (p + k2)+L G (p)G(p + k2) X
X / Га?> „э (р, q-,k2)G (q) {qA) G(q + k2)-^,
где k2 = (k, 0) (мы считаем здесь k малым). С другой стороны, в пределе k->0 из градиентной инвариантности следует, что все функции, зависящие от импульса, должны
Ье
перейти в функции от р — — Л. Таким образом, при &->0
SG __ dG
Ъе*~ dP' с
Следовательно, в пределе >0, k—>0 получаем для G (р) вблизи полюса второе соотношение
dG~l __ __ __ _ р _ dp а т*а '
= - ? + 7 /«Р С'. 4> І {¦32 Wt (19.2)
Третье соотношение мы получим, рассматривая изменение G-функции в случае, когда система движется как целое с малой и медленно меняющейся скоростью bu(t). 218 теория ферми-жидкости (ГЛ. iv
Изменение гамильтониана системы заключается в добавлении члена
где P — оператор полного импульса системы. Изменение О-функции выражается следующим образом:
80 = — O(P)P Ьи О) G (р + kx) +
-f L G (P) G (/,+ft,) f гар> a? (р, q- ft,) q Ьи (со) G (q) G (q + kj ,
где ft, = (0, о>). С другой стороны, при со = О это преобразование означает переход в систему координат, движущуюся с постоянной скоростью Ьи. Согласно формулам Галилея, энергия системы должна в этом случае измениться на величину — ЬиР. При этом частота г заменяется на е + 8ир, и, следовательно,
функция Грина изменится на величину рЬи.
Таким образом, в пределе «->-0, Ьи->-0 вблизи полюса получаем:
P^T-= T =р - І J(19.3)
Наконец, последнее соотношение получается, если рассмотреть изменение О-функции под влиянием малого постоянного во времени поля bU (г), слегка неоднородного в пространстве. Изменение О в этом случае равно
bG = G (р) Ы/ (k) G (р-\- k2) —
— ^Q (P)G (PHh)/Г*?,а?(Р> г. k2)0(q)bU(k)0(q+k2) ^L,
где k2 = (k, 0).
С другой стороны, в постоянном внешнем поле должно выполняться условие равновесия
Ji + St/ = const.
? пределе k->0 химический потенциал меняется на малую константу — bU. § 19] эффективная масса
219
Таким образом, при k —> О, Ш-> 0 получаем:
-?^=! -J f r«M?(p q){G\q)]k-~^- (19.4)
Эта формула справедлива при произвольных импульсах.
2. Доказательство основных соотношений теории ферми-жидкости. С помощью формул (19.1)—(19.4) и формулы (18.8), связывающей Г* с Г'°, можно вывести основные соотношения теории ферми-жидкости. Отметим здесь кстати, что формула (18.8) годится для Г с произвольными импульсами P1 и р2, совсем не обязательно лежащими вблизи ферми-поверхности.
Начнем с того, что подставим соотношение (18.8) в формулу (19.2). При этом получим:
Из формулы (18.4) следует:
[O2(P)),= {О2(р)}ш--^8(г)8(|р|-р0). (19.5)
Подставим это в первый интеграл предыдущего соотношения и воспользуемся формулой (19.3). После сокращений получаем при |р| =р0, s = 0:
4- = 1^ +W./" ^-?OO cosxdQ. (19.6)
Нетрудно видеть, что эта формула совпадает с (2.12), при-
чем O2C3, = /(X- О.
Докажем формулу (2.1). Рассмотрим выражение (18.1) для функции G вблизи полюса, т. е. при |р|—>р0, є^-0. В этом выражении коэффициенты a, v и импульс р0 зависят от химического потенциала (і. Продифференцируем О по fj,. Легко видеть, что члены, происходящие от дифференцирования и и її по р, вблизц полюса малы (~(|р| —PoVlj- 220 теория ферми-жидкости (ГЛ. iv
