Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2 2 = ± j Tg2J <Ґх<Ґу®($ (X - у) ®fj (у - X) ©(0) (X - у).
Величина 22 оказывается пропорциональной объему системы V, в чем легко убедиться, вводя в интеграле новую переменную х' = X — у. Такая же ситуация сохранится и в любом приближении, чего и следовало ожидать, поскольку, как известно, потенциал 2 имеет вид
Q = —VP([x, Т),
где P— давление, выраженное как функция химического потенциала и температуры. В дальнейшем поэтому мы всегда будем приводить формулы для
ДP (P = P0 ([X, Г) + ДР,
где P0 — давление в системе свободных частиц). Для ДР2 имеем:
ДP2 = + у g2 f d'x®^ (X) (- X) ?(0) (X). (15.11) Переходя к импульсному представлению, получаем:
AP2 = + -^^(28-1-1)2 JdpdkX
w1, cdj
х 1__1__"2O (ft)
/ЮI — (Р) + С- І (">1 + ">2> — S0 (р + ft) + (і <4 + Wo(ft)
Соответствующая диаграмма изображена на рис. 50. 186 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
Рассмотрим произвольную диаграмму порядка 2п. Такая диаграмма содержит Зга линий и 2« вершин. Однако один из 2п законов сохранения выполняется тождественно, при условии выполнения остальных 2п—1 законов. Таким образом, в диаграмме 2«-го порядка имеется всего п-\- 1 независимых интегрирований. Лишний закон сохранения приводит к появлению в диаграмме для (1B) дополнительного множителя 8(/; = 0), пропорционального объему системы Vі).
Правила, по которым отдельным элементам диаграммы сопоставляются гриновские функции (и вершинные части при
Рис. 50. Рис. 51.
других взаимодействиях), остаются теми же, что в случае диаграммы для ©. Коэффициент перед диаграммой порядка 2п для поправки ДР равен
где F— число замкнутых петель, образованных одними ©-линиями частиц.
Приведем также выражения для ДP для случая парного взаимодействия. Для взаимодействия в форме (13.7) поправка второго порядка к давлению, отвечающая диаграмме рис. 51,
') По определению,
= =W Idr = § 16] уравнение дайсона. многочастичные функции грина 187
имеет ВИД
1 р у f 1 1
-TW ZdJ dP^ dP* dP* Zco1 _ S0 (р,) + fx /а>2 - ?о (р2) + ц X
CUl(DjU)3
х_1__\_X
^n Zco3 — ? (р3) 4- (x Z ((u1 4- co2 — ш3) — є0 (р, 4_р2_р3) 4. jx ^
XJ^iibiPv J?2; P1+P2 —РЗ' Рз)Х
X ^ (Pi+Р2 — Рз' P3; Pv Pi)-
§ 16. Уравнение Дайсона. Многочастичные функции Грина
1. Уравнение Дайсона. Как и при равной нулю температуре, в задачах статистики при 7 ф О почти никогда не удается обойтись несколькими первыми членами ряда теории возмущений в качестве поправок к гриновским функциям. В условиях практически любой физически правильно поставленной задачи формальный параметр разложения диаграмм-нойтехники — гамильтониан взаимодействия Hint— оказывается не мал, в связи с чем те или иные бесконечные последовательности членов ряда теории возмущений будут давать вклад одного порядка величины.
В предыдущей главе мы видели, что суммирование бесконечных рядов в технике теории поля производится диаграммным методом. В этом методе сумма ряда может быть изображена в виде диаграммы, элементы которой—линии и вершины — в свою очередь представляют собой суммы бесконечного числа диаграмм. Сопоставление элементам такой диаграммы определенных выражений производится по тем же правилам, что и для диаграмм теории возмущений. Это обстоятельство дает возможность строить различные уравнения для гриновских функций. В гл. II мы уже сталкивались с одним из таким уравнений — уравнением Дайсона, выражающим гриновскую функцию через массовый оператор системы.
Для построения таких уравнений существенны два свойства диаграммной техники: топологическая структура диаграмм и правила, по которым диаграмме сопоставляется определенное выражение. Диаграммы в технике при T = О и в технике Мацубары вообще одинаковы, правила же 188 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
сопоставления отличаются только тем, что интегрирование по частотам в нервом случае заменяется суммированием по дискретным мнимым «частотам» тп во втором; точнее говоря, любое выражение для поправок к температурной гриновской функции ©, соответствующее какой-нибудь диаграмме, может быть получено из выражения для поправки к гриновской функции G при T= 0, отвечающей той же диаграмме,
если в последнем заменить ш на ішп, а интеграл на суммы по формуле
Id ">•••
п
(см. конец § 14).
Отмеченное выше обстоятельство позволяет непосредственно перенести, просто заменив обозначения, все результаты § 10 на случай Тф 0. В частности, в технике Мацу-бары сохраняется уравнение Дайсона. Для системы частиц с парным взаимодействием оно имеет вид
®а? (P)=®7(Р)-72^2/dPifi% ЇЛ (р' л; Pv р) X
IU1
X (P) ©їзї2 (P1) ®Ї43(P) + J <1 (P) -Щгг S / dPi dPi X
(A)1Otr
XZr01VT3T4^' Px +Р2 — P-. Pv P2) ®r3r5 (Pi) ®г4т6 (P2) X X®T7T,(PI+P8—P)ZT5T6;T7T8(PI'P2"> PI+P2-P.P)®r8?(P> (16Л) § 16] уравнение дайсона. многочастичные функции грина 189
Здесь Jt — точная вершинная часть, имеющая тот же смысл, что и в технике при T = 0. Она равна сумме всех компактных диаграмм с четырьмя внешними линиями, причем каждая линия изображает собой точную гриновскую функцию © (примеры таких диаграмм приведены на рис. 52).
