Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
со
Dik. «) = /я(*. ?)(-^-^4-^. (7.29) о
Мнимая часть этой функции всегда отрицательна
Im D(ft, (o) = — uP(k, І ш I). (7.30)
Связь действительной и мнимой частей выражается тем же соотношением, что и у функции О (р, є). Отсюда следует, что аналитические свойства фононной гриновской функции такие же, как и у гриновской функции системы ферми-частиц с Ji = O.
Поэтому можно построить две аналитические функции Dr и Da, удовлетворяющие условиям (7.25) с jt = 0. В координатном представлении эти функции имеют вид
Dr(*-*') = { 0, t<t>.
DA(x — x') =
О, t > V,
(7.31)
3. Физический смысл полюсов. Как уже было отмечено, знание функции Грина дает возможность найти целый ряд физических характеристик системы. В частности, из нее можно определить спектр элементарных возбуждений.
Рассмотрим ферми-систему, которая в начальный момент времени t' описывается волновой функцией
V0 (0 = Ф+(Лф/(0. (7-32)
где ф+ (/') — оператор рождения частицы с импульсом р в представлении взаимодействия, т. е. а+еи«(р)'', а Фг(^')— волновая функция основного состояния системы частиц в представлении взаимодействия. В момент t > f волновая функция системы будет иметь вид
ЧГ(0 = 5(Л ГЩ(Г) ФДО- 86-
МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II
Найдем амплитуду вероятности состояния W0 (t). Она равна
(WS it) w (/)) - <фі (t) <jv it) s (t, t') ф+ (t>) ф, (t')) =
= (ф°л5-1 (0 (t) S (t, V) ty+p (t') S {t') фя) = = (MO^tfO) = «?(/». і — *'), t — t'> 0. (7.33)
Здесь был произведен переход от представления взаимодействия к гайзенберговскому представлению.
Для получения функции О (р, t) необходимо вычислить интеграл
со
Gip, t)= f ^ О (р. (7.34)
Ввиду того, что функция G (р, ш) не является аналитической, мы разобьем этот интеграл на две части: от —со до (1 и от (1 до оо. В первом инте-— грале G совпадает с аналитической функцией Ga, а во втором интеграле— с Gr. Как уже было отмечено
U)=/г
выше, функция Ga не имеет особен-Рис. 2. ностей в нижней полуплоскости. Поэтому в первом интеграле можно деформировать контур интегрирования (рис. 2). Если горизонтальный участок этого контура сдвинуть достаточно далеко в нижнюю полуплоскость, то вследствие множителя е~ы1 в (7.34) интеграл по этому участку будет очень мал и, Факим образом, ayV_
останется лишь
Пе-
1
OJ^S(JJ)-Iy
Рис. 3.
p.— ico
рейдем теперь ко второму интегралу. Функция Gr, вообще говоря, имеет особенности в нижней полуплоскости. Предположим, что в четвертом квадранте комплексной переменной (О-(X особенностью, ближайшей к действительной оси,
является простой полюс в точке ш = є(р) — if, причем (р) — (л. Деформируем контур интегрирования так, как показано на рис. 3. Горизонтальный участок этого контура, конечно, должен лежать выше следующей особенности § 7] гриновская функция 87
и не может быть сдвинут в —і оо. Однако, взяв достаточно большое время t, мы можем сделать этот интеграл малым. Таким образом, остается интеграл по вертикальному участку и обход вокруг полюса:
р.— і со
у lae-u Wt-Vt
V-
где а — вычет Gr в точке полюса. Ниже мы покажем, что при ^ [є (р) — |х]-1 оба интеграла по вертикальным участкам контуров на рис. 2 и 3 дают малый вклад. Таким образом, в пределе больших времен t мы получаем:
Ю{р, t) zu ае~ltWt-It. (7.35)
Если бы в начальном состоянии мы имели одну свободную частицу с импульсом р и энергией є (р), то величина, аналогичная (7.33), была бы равна е-<Ео(г>)('-П. Отсюда следует, что в состоянии (7.32) имеется волновой пакет, который ведет себя, как квазичастица с энергией є (р), и затухает со временем по закону С-''). Таким образом, энергия и затухание квазичастиц определяются вещественной и мнимой частями полюса функции Gr в нижней полуплоскости. Амплитуда волнового пакета связана с вычетом функции Gr в точке полюса.
Теперь покажем, что отброшенные нами части интегралов можно считать малыми в области импульсов, где є(р)яь^. Вспоминая, что Ga = Gr, находим сумму интегралов по вертикальным участкам контуров на рис. 2 и 3:
IJ- — І OO JJ.-(СО
/ (Oll-Qy.-'-? = 2*/ ІШайе-'«?.
їх її
Согласно феноменологическим соображениям, изложенным В § 2, условие 7<CIS(P)-Iі имеет место только в окрестности S(P)^ix1). Поэтому, считая -, можно
^Справедливость предположения о том, что у г (р) — [л при є (р) — (X -> 0, строго доказана для многих конкретных примеров (см., например, § 21 и 22). 88-
методы квантовой теории поля при T=O [гл. II
заменить Or на ^ _ ? ^ ^. Вводя новую переменную /(ш — |х) = и, получаем:
OO
2 ^ae-W Г due~at
27t J 72 + [e(p)_[, + /u]2 •
Поскольку t^>[s (р)— [Х]"1, то этот интеграл оказывается равным
^t [є (P) — M2
Если считать t не слишком большим по сравнению с 1/у, то эта величина значительно меньше, чем результат обхода полюса на рис. 3.
Аналогичные соображения могут быть развиты и для состояния с волновой функцией
ЧГо(0 = Фр(ОФДО. (7-36)
Рассматривая это состояние в более поздний момент времени t', мы получаем:
