Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Допустим, что мы имеем систему из N невзаимодействующих частиц, которые могут находиться в каких-то состояниях с волновыми функциями Cp1(^)1 Ф2(0> образующими полную и ортонормированную систему. Здесь ? обозначает любые переменные, характеризующие состояние частицы, обычно это — координаты и проекция спина. Вместо полной волновой функции для описания системы, очевидно, могут быть заданы числа частиц, находящихся в состоянии Cp1, ср2, ... Это означает переход к новому представлению, называемому представлением вторичного квантования. Роль переменных в нем играют числа N1, N2, . ¦. Начнем со случая частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Полная волновая функция системы бозе-частиц, как известно, симметрична относительно перестановки переменных, соответствующих различным частицам. Нетрудно проверить, что волновая функция, отвечающая
') Мы считаем полезным привести здесь краткое изложение метода вторичного квантования (см., например [15]) ввиду того, что этот метод является основой развиваемого в дальнейшем аппарата. § 3] вторичное квантование 45
числам заполнения N1, N2, ..., имеет вид
ФЛГ.ЛГ,. . . = (^1'?1-")7' S Tpl (Ь) <P* (?) • • • (3.1)
р
здесь Pi — номера состояний, а сумма берется по всем возможным перестановкам различных чисел pt. Множитель перед
суммой введен для нормировки ^J* |Ф I2 JJ (Ici = I^ . Будем рассматривать ®tv,tv2 • • • как функцию переменных N1.
Пусть Fm есть некоторый симметричный по всем частицам оператор вида
J7'4 = !!/™ (3-2)
а
где fa — оператор, действующий только на функции от Sa. Нетрудно видеть, что такой оператор, действуя на функцию
Флуу2.....переводит ее либо в ту же самую функцию, либо
в другую, соответствующую изменению состояния одной из частиц. Ввиду этого матричные элементы Fm по функциям (3.1) имеют вид: диагональные
недиагональные
N1 Nk-1 Nk
где
^1V-I (3.3)
/? = /ср* (0/4(0^.
В смысле действия на числа Ni оператор Fm можно изобразить, если ввести операторы at, которые уменьшают на единицу число частиц в /-м состоянии и обладают матричными элементами
W "1N11 =V~Ni- (3.4)
Эрмитовски сопряженные операторы а+, очевидно, имеют матричные элементы: •46 общие свойства систем из многих частиц [гл. i
т. е. увеличивают число частиц на единицу. Нетрудно проверить, что оператор /7*1' может быть записан в виде
Fm = ^fiUak. (3.6)
Действительно, матричные элементы этого оператора совпадают с формулами (3.3). Это и есть выражение в представлении вторичного квантования.
Согласно формулам (3.4) и (3.5), произведения операторов af и Cii представляют собой диагональные операторы
Hfal = Nt,
UlUf = Nl+!. (3J)
Из (3.4), (3.5) и (3.7) следуют перестановочные соотношения операторов at:
M=K^l=O- '
Аналогичным образом может быть изображен симметризо-ванный оператор
F{2) = 2 /Д. (3.9)
а, ь
где /аь действует на функции от Sa и Sfc- В представлении вторичного квантования оператор F^ имеет вид
F^ = 2 f> lImatatafim. (3.10)
ihlm
где
/2> = J ср! (S1) 4 (S2) /(\ (S1) Cpm (S2) d\x 0?.
Это же относится и к более сложным операторам.
Рассмотрим гамильтониан системы взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем поле,
а,ь а,ь,с
(3.11) вторичное квантование
47
где #а) = — "iw + ^^e)- Согласно предыдущему, в представлении вторичного квантования он имеет вид
H = 2 Hftafau + 2 t/(2> Zatataiam + ... (3.12)
Iklm
Если в качестве <рг выбрать собственные функции гамильтониана На\ то первый член (3.12) становится равным
я(1) =T 2 Siatai = 2 *tNr (3-13)
В случае статистики Ферми полная волновая функция системы должна быть антисимметрична по всем переменным. Это приводит к тому, что числа заполнения в случае невзаимодействующих частиц могут принимать' лишь значение 0 и 1, и волновая функция имеет вид
Флг^... =^=2(-CPpi(S1)CPa(S2) ... ср^(^), (3.14) ' р
причем все числа pv р2.....Pn — разные. Символ (—1)р
показывает, что нечетные перестановки входят в сумму (3.14) со знаком «минус». Для определенности будем брать со знаком «плюс» тот член суммы, в котором
Pi < Рг < P3 < • • • < Pn- (3-15)
Матричные элементы оператора F^ типа (3.2) в данном случае имеют вид: диагональные
^ = (3.1 6Ї
і
недиагональные
^ 1A=± ^
где берется знак «плюс» или «минус» в зависимости от четности или нечетности общего числа частиц в состояниях, находящихся между 1-м и ?-м состояниями. Введем операторы а{ с матричными элементами
ы^кА=*-1)1-1"'- <зл7> •48
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
С помощью этих операторов оператор F^ можно записать в виде (3.6).
Произведения операторов а( и af равны
,Xfal = Nl.
+ 1 д т (3.18)
a.af=\— N..
Таким образом,
{alaf}=aiaf-\-afai = l. Все остальные антикоммутаторы равны нулю. Следовательно,
11 (3 19)
M = KeA=O- J
Более сложные операторы, и в частности гамильтониан, могут быть записаны через операторы ai% af так же, как и в случае бозе-частиц.
§ 4. Разреженный бозе-газ
Простым примером квантовой жидкости является слабо неидеальный газ, т. е. газ, в котором роль взаимодействия частиц относительно мала. Как мы увидим, для этого нужно, чтобы амплитуда рассеяния частиц была мала по сравнению со средней длиной волны X = 1 /р. которая для вырожденного газа по порядку величины совпадает со средним расстоянием между частицами.
