Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
где изображены диаграммы для величин Sik, пунктир соответствует фононной D-функции, точка — простой вершине, или множителю g, а жирная точка или прямоугольник означает модификацию простой вершины за счет различных электрон-фононных взаимодействий.
Перейдем к компонентам Фурье для всех величин и рассмотрим любую из собственно энергетических диаграмм, скажем Sn (р). Нетрудно увидеть, что с точностью до членов порядка u>0/eP можно пренебречь всеми фононными поправками к трехвершинной части в простейшей диаграмме для 2и(р) рис. 93. Действительно, как мы показали в § 21, в соответствующем подынтегральном вы-ражении существенны значения D-функ-
-ции (и фононной вершины) для фононов
рис gg с импульсами порядка фермиевского
импульса электронов. По этой причине произведенная в § 21 оценка поправок к фононной вершине, происходящих от электрон-фононных взаимодействий, остается справедливой и в рассматриваемом случае, поскольку величина таких поправок определяется значениями гриновских функций в области энергий и импульсов, удаленной от поверхности Ферми. Между тем совершенно ясно, что компоненты Фурье электронной функции Грина для металла в сверхпроводящем состоянии отличаются от своих значений в нормальном металле лишь в узкой области вблизи поверхности Ферми с энергиями возбуждений не большими, чем порядок максимальных фононных энергий, т. е. порядка и>д. В равной мере специфические для сверхпроводящего состояния функции F+(p) и F(p) также отличны от нуля только в указанной области. На рис. 92 были изображены по два возможных типа собственно энергетической диаграммы для каждсй из частей I11, S20 и Z02 в зависимости от выбора той или иной модификации фононной вершины. На основании только что сказанного мы можем сразу же опустить диаграммы второго типа, где фононная вершина отмечена жирным прямоугольником, поскольку диаграммы такого рода могут быть построены только с использованием сверхпроводящих функций Грина F и F+.
Таким образом, в качестве фононной вершины в неприводимых частях S11, S20 и T02 можно ограничиться нулевым приближением теории возмущений. § 35] ВЫВОД УРАВНЕНИЙ В ФОНОННОЙ МОДЕЛИ 391
По тем же причинам останется неизменной фононная функция Грина D (X1—х2), для компонент Фурье которой можно непосредственно пользоваться выражением (21.14). Структура уравнений для функций Q и F+ изображена на рис. 94 и понятна без дальнейших пояснений. Приведем эти
> ) = -- + ) ) '> > +
Рис. 94.
уравнения в аналитическом виде. В координатном представлении
с
= 5(jc — x') + g4 I 0(х — z)D(x — z)Q(z — x')d*z-\-
г'
/»
+ g4 j F (x — z)D(x — z) F+ (z — jc') dAz,
= S4J G(z —X) D (z — x)F+(z —x')d4z-j-
+ g^f F+(x —z) D (x — z)0 (z — x')dAz. (35.2)
Электромагнитное поле может быть включено в эти уравнения обычным образом, подобно тому как это было сделано выше, в § 34. Подчеркнем, что получающаяся система является полностью градиентно-инвариантной в отличие от системы (34.13), в которой градиентная инвариантность была только приближенной с точностью до членов TJidd. К сожалению, как это видно из (35.2), эта система имеет гораздо более сложный вид с интегральным нелинейным членом, что делает ее менее удобной для решения в координатном представлении, как это требуется в ряде задач, в которых существует неоднородное магнитное поле. Получающиеся же практические результаты, как правило, эквивалентны для обеих моделей. 392
ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
[гл. VII
В отсутствие магнитного поля для однородной задачи, переходя в уравнениях (35.2) к импульсному представлению, легко получить уравнения для компонент Фурье всех величин
(«о _ ?, _ glIGJ G (P) - g4FaF+ (P)= 1,
(_ о, - 5 - F+ (р) - gHFZG (р) = 0.
Здесь введены обозначения
(35.3)
G,
^ / G(p-k)D(k)d*k,
^ (2:
~ j F (р — к) D (к) d^k, (35.4)
F^ = -щг / F+ (р- k) D (k) d*k. Q-a = Qm(—p)
Эта система совершенно аналогична системе (34.15) уравнений, полученной выше. Единственное отличие состоит в том, что в то время как в уравнениях (34.15) величины Gm и Fat,
F+ суть постоянные в области \v(\р\ — р0)| < около поверхности Ферми и равны нулю вне этой области, величины (35.4) суть функции, вообще говоря, ш и р, плавно убывающие до нуля при u>, \v(\p\ —
Выразим функции G и Fh через Gllt и Ftlt, FZ'-
со — s}iG , + 5 G(p) =--ё
і*
с-+ / ч — iS2 F«
F (р) -
[со - Ї - gHQj u» + ї + g4U_J -?\FZ I
После подстановки этих выражений в определения Gm и F^ (35.4) мы получим два интегральных уравнения для этих величин вместо одного уравнения (21.16) в § 21. Решение этих уравнений было получено Элиашбергом [60]. Не останавливаясь на вычислениях, приведем окончательный результат. Оказывается, что при малых энергиях спектр возбуждений имеет вид
S(P) = VeT^r* § 36] ТЕРМОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДНИКОВ 393
где, однако, \ = vx(p— р0) содержит, в согласии с (21.31), перенормированную скорость на поверхности Ферми V1.
Щель при абсолютном нуле связана с Ft= о соотношением
