Основы экспериментальных методов ядерной физики - Абрамов А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Использовать выражение (1.5) возможно не во всех случаях, так как интервал fx ±go может оказаться больше интервала изменения переменной. Так, для распределения Пуассона (см. ниже) наименьшее значение Xi равно нулю, а при малых fx величина fx — go может оказаться меньше нуля. Следует заметить также, что для несимметричных распределений (типа распределения Пуассона) число значений X в интервалах ^x + ga и fx — go различно.
Отметим важное свойство дисперсий, которое легко можно получить прямым вычислением: если имеется набор из п независимых случайных величин Z1, то дисперсия суммы этих величин равна сумме дисперсий, т. е.
D(i2*)= І^і). (I-6)
Это свойство аддитивности дисперсий широко используется в теории ошибок измерений. Для п случайных величин г с одинаковыми дисперсиями «
Ztj=UD(Zi). (1.7)
Помимо дисперсии или стандартного отклонения флуктуации случайной величины характеризуют также относительным средне-квсюратическим отклонением б, определяя его как б = ст/^х. Ясно, что б — величина безразмерная.
Для дискретных распределений вместо интеграла будет знак суммы.
9 Асимметрия распределения характеризуется безразмерным параметром у.
у = (х~ц)а.'о\ (1.8)
Асимметрия отрицательна, если р (х) сильно вытянуто влево от И, и положительна, если р (х) вытянуто вправо от |х. Если распределение симметрично, то параметр у равен нулю.
Теперь рассмотрим ряд статистических распределений, с которыми наиболее часто приходится сталкиваться экспериментатору, работающему в области ядерной физики. Сначала рассмотрим дискретные распределения: биномиальное и Пуассона, а затем непрерывные: интервалов, прямоугольное и Гаусса (нормальное).
Биномиальное распределение. Пусть некоторое событие может иметь только два исхода: благоприятный и неблагоприятный. Пусть вероятность первого равна ©, тогда вероятность второго 1 — 0. Если событие происходит N раз, то вероятность р (х) того, что благоприятный исход повторится X раз, а неблагоприятный (N — х) раз, равна произведению числа способов, которыми можно выбрать х из N, на вероятность того, что сначала х раз подряд повторится благоприятный исход, а затем (N — х) раз —¦ неблагоприятный. Следовательно, полная вероятность х
P W = ,,V1 M 0* (1 -Q)N-X- (1 -9)
х\ ((V — х)!
Множество вероятностей (1.9) называется биномиальным распределением. Итак, случайная величина х подчиняется распределению (1.9), которое полностью характеризуется двумя параметрами 0 и N.
На рис. 1.1 показана форма биномиального распределения при различных значениях 0 и N. Заметим для дальнейшего, что если 0 фиксировано, то (1.9) стремится к распределению Гаусса при N —>- оо, если NQ фиксировано, то при N —>- оо биномиальное распределение стремится" к распределению Пуассона. Сравнивая рис. 1.1 с 1.2 и 1.3, можно оценить, как быстро биномиальное распределение сходится к своим предельным формам.
Биномиальный закон распределения вероятностей описывает процесс с ограниченным числом испытаний N, из которых производятся статистические выборки. Примером такого процесса является распад группы одинаковых радиоактивных ядер. В этом случае вероятность благоприятного исхода (распада) 0 = ехр (—Kt), а неблагоприятного (I—ехр (—Kt)), где К— независящая от времени, характерная для данного вида ядер константа. По (1.9) можно определить число ядер X из их общего числа N, распавшихся за время t. Формулу (1.9) имеет смысл применять, если N невелико, в противном случае вероятность распада хорошо описывается распределением Пуассона. Другой пример процесса, описываемого биномиальным распределением, — прохождение пучка частиц через мишень
ю в эксперименте по определению сечения взаимодеиствия частиц с ядрами мишени. Здесь благоприятный исход — реакция в мишени, неблагоприятный — прохождение пучка частиц через мишень без взаимодействия. Формула (1.9) позволяет вычислить число реакций в мишени.
Ofi-0,3-
0,2-о,1
N=5; 6=0,3-, N¦9=1,5
Jj
О 2 4 6 X 0,3-
0,2-
0,1-JL
N= 15; 6=0,3; N9=4,5
Ixj
О 2 4 В 8 IOx 0,3-0,2-0,1-
Ofi 0,3 0,1 0,1 \
//=5; 9=0,3;
N3 = 1,5
J_
Lb
О 1 г 3 4 5 X Ofi-
0,3 0,2 о.П
N=15; 8 = 0,1; N6=1,5
О 1 2 3 4 5 5 X Ofi-
0,3-
N=30; в=0,3; 0,2'--Nв=9,0
0,1 f
N=30; 8=0,05; Nd =1,5
О 2 4 S S 10 12 74 16 ISx
О 1 2 3 4 5 S X
Рис. 1.1. Биномиальное распределение при различных значениях параметров N1 0
Вычислим среднее значение для биномиального распределения по определению
Nl
(N — x)l х!
. е* (I-Q)A--
--N
•в2
OV-I)!
JU1 [(-V 1) (х— 1)]! (х— 1)!
__ 0-ї— і • (1 — — і) —(ж — D^ Рис. 1.2. Распределение Пуассона при различных значениях параметра [г. Имеют смысл лишь значения при целочисленных рк (ц)
т 0,8 0,6 0,4 0,2
: і ; і , і і J4
1 /1Y
; і Iii TTTVі
і 2 -T"" N/ : V
--г^Г^ -——S^cL ! і ^
-J ~2
О 1
S 4
7 У
Рис. 1.3. Распределение Гаусса при различных значениях параметров ц и а:
1 — ц=1, (Т=2; 2 —H = 4, G = I; 3 — Ii = 6. G = O,5
Пусть s = x — 1, г — N
^NQ 2 Fr
