Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В противоположность этому в первом примере поправка на вес гири чаще всего неизвестна. О ней мы знаем лишь, что она не превышает некоторой величины (в нашем примере — 0.1 г, или 0.01%). Поэтому поправка на неправильность гири не может быгь учтена, и результат взвешивания мы вынуждены записать в виде
P = (IOOO ± 0.1) г.
Если мы ничего больше не знаем об ошибке гири, кроме того, что она не превосходит 0.1 г, то никакие самые лучшие приемы взвешивания не позволят получить о весе
8
нашего тела более точных сведений. Однако, имея в достаточном количестве даже заведомо неточные гири, можно допытаться получить лучшие результаты. Допустим, что мы располагаем разными наборами гирь, причем о каждом из них известно, что он выполнен с погрешностью, не превышающей 0.01%. Это значит, что килограммовая гиря из набора имеет ошибку, не превышающую 0.1 г, стограммовая — 10 мг, пятидесятиграммовая — 5 мг, и т. д.
Очевидно, что хотя во всех наборах гири весом в 1 кг будут обладать ошибкой не более 0.1 г, разные экземпляры этих гирь характеризуются различными ошибками. Гиря одного набора будет, например, иметь ошибку плюс 0.03 г, другого — минус 0.07 г, третьего — плюс 0.04 г, и т. д.
Это происходит потому, что ошибки гирь появились в результате неточностей, имевших место при их обработке, которые разным образом сказались на каждой из них. Если мы произведем ряд взвешиваний, пользуясь для каждого гирями из другого набора, то вследствие различия в ошибках каждой из гирь мы получим несколько отличающихся друг от друга значений весов тела. Пусть этот ряд значений будет, например, 1000.23, 1000.2Or 1000.23, 1000.20, 1000.19, 1000.20, 1000.15, 1000.17, 1000.12, 1000.22 г.
Возьмем среднее арифметическое х этих значений:
X1 + X2 + . . . + Xn 1_
* =-Z-=—(1)
Здесь X1, х2, . . ., хп — результаты отдельных измерений веса^ 2 означает суммирование от первого до га-го числа
В нашем случае х = 1000.19 г. Можно быть практически уверенным, что это число отличается от истинного веса меньше, чем на 0.1 г. Это следует из того, что среди ряда гирь, которыми мы пользовались при взвешивании, вероятно, были такие, у которых ошибка в весе положительная (т. е. они весят больше, чем на них обозначено), но были и имеющие отрицательные ошибки. Когда мы брали среднее арифметическое, то цоложитель-
S
ные и отрицательные ошибки хотя бы частично компен сирова ли друг друга. В результате этого ошибка среднего арифметического х должна быть, вообще говоря, меньше, чем ошибка каждого из отдельных полученных нами значений веса X.. Хотя это не исключает того, что некоторые из значений х. могут оказаться ближе к истинному весу, чем ж,— именно те значения, которые были получены с наиболее точными гирями из нашего набора. Но все дело в том, что мы не знаем, какая из наших гирь более точная, а какая — менее точная. Если бы это было известно, то при взвешивании просто нужно было бы воспользоваться лучшими гирями и отпала бы необходимость производить взвешивание несколько раз. Мы это делаем именно потому, что не знаем величины ошибки каждой из гирь.
Можно полагать, что чем больше наборов таких гирь у нас есть, а следовательно, чем больше взвешиваний с использованием различных гирь мы сможем произвести, тем точнее будет полученный результат, который всегда вычисляется по формуле (1). Таким образом, результаты наших отдельных взвешиваний оказываются отягченными разными ошибками для разных взвешиваний. О величинах этих ошибок нам пока ничего неизвестно, кроме того, что любая из них не превышает 0.1 г. Среднее арифметическое значение из всех взвешиваний также содержит ошибку, которая, вероятно, меньше 0.1 г, но о ее величине пока мы тоже ничего не можем сказать.
Ошибки такого рода носят название случайных (потому что они отличаются друг от друга в отдельных измерениях и эти различия имеют случайную, неизвестную нам величину). Правила определения таких случайных ошибок изучаются в теории ошибок — математической дисциплине, основанной на законах теории вероятностей. В дальнейшем мы приведем некоторые положения теории ошибок, необходимые для простейшей математической обработки результатов измерений. Выводы этих положений требуют знакомства с рядом разделов высшей математики и здесь поэтому не приводятся.
Наконец, третий тип ошибок, с которыми приходится иметь дело,— грубые ошибки, или промахи. Под промахом понимается ошибка, сделанная вследствие неверной записи показаний прибора, неправильно прочитанного отсчета и т. п. В нашем примере со взвешиванием вследст-
вие промаха мог быть записан вес 100.20 г или, например, 2020.0 г вместо 1000.20 г. При измерении длины линейкой промах может появиться в результате того, что один из концов измеряемого предмета окажется совмещенным не с 0 линейки, а, скажем, с 10 см, причем отсчет будет сделан без учета этого обстоятельства, что приведет к завышению измеряемой длины на 10 см.
Таким образом, мы различаем три основых тина ошибок.
1. Систематические, величина которых одинакова во всех измерениях, проводящихся одним L тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов.
