Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
"Г 5100>
так как погрешности всех измерении одинаковы, а всего измерений 100, то ошибка суммарного веса
Sp = sJm . 5 = 105==10.0.05 = 0.5 г.
Таблица 3
Измерения сопротивления
Иначе говоря, мы можем утверждать, что из 1000 измерений суммарного веса, проделанных описанным выше способом, около 320 дадут отклонения от измеренного значения больше, чем на 0.5 г, только около 50 — более чем на 1 г, и около трех, результаты которых будут на 1.5 г и более отличаться от истинной величины.
При практической работе очень важно строго разграничивать применение средней квадратичной ошибки отдельного измерения S и средней квадратичной ошибки среднего арифметического s<s.
Последняя применяется всегда, когда нам нужно оценить погрешность того числа, которое мы получили в результате всех произведенных измерений.
В тех случаях, когда мы хотим характеризовать точность
применяемого способа измерений, следует характеризовать его ошибкой s.
Поясним сказанное следующим примером.
Было сделано десять измерений электрического сопротивления (R) провода, в результате которых получены значения, приведенные в табл. 3.
Номер измерения R Номер измерения R
1 275 6 274
2 273 7 276
3 275 8 275
4 275 9 272
5 278 10 274
2*
274.7;
0Jr
10 0 = 1.8;
41
Таким рбразом, средняя квадратичная погрешность an измерения сопротивления данного провода равна 0.6 ома, или же, переходя к относительным погрешностям, коэффициент вариации для данного результата составляет около 0.2%.
Но квадратичная погрешность а применяемого метода измерений составляет 1.8 ома, а коэффициент вариации для этого метода — около 0.7%.
Если мы описываем метод, которым производилось измерение, то мы должны указать именно эту последнюю ошибку.
Зная ее, можно самому выбрать нужное число измерений, чтобы, пользуясь формулой (22), получить желаемую случайную погрешность окончательного результата измерений.
При выборе нужного числа измерений мы предполагаем, что систематическая ошибка метода достаточно мала.
Подробнее об этом см. на стр. 48—50.
5. Определение доверительного интервала и доверительной вероятности
Ранее мы с помощью табл. I определяли доверительные вероятности для отдельного измерения хіч т. е. вычисляли вероятность ТОГО, ЧТО X1 не будет уклоняться от истинного значения более чем на величину Ах.
Очевидно, важнее знать, насколько может уклоняться от истинного значения х среднее арифметическое X наших измерений.
Для этого также можно воспользоваться табл. I, взяв, однако, вместо величины аЛ> величину а*, т. е.
Тогда для аргумента є, с которым мы входим в табл. I будем иметь значение
е=^Г—г-• (23)
X Xl
Мы теперь знаем, как определять доверительную вероятность для любого доверительного интервала, если известна средняя квадратичная погрешность о. Однако, для того чтобы определить последнюю, нужно сделать очень много измерений, что не всегда возможно и удобно. В тех случаях, когда мы делаем измерения с помощью уже хорошо исследованного метода, ошибки которого известны, мы заранее знаем величину о. Как правило, погрешность метода приходится определять в процессе измерений. И мы обычно можем определить только величину sn, соответствующую тому или иному, но всегда сравнительно небольшому числу измерений n U1, s2,. . м Sn здесь означают средние квадратичные ошибки отдельного измерения, определенные по формуле (10) для случаев двух, трех, четырех ит. д. измерений]. Если мы лля оценки доверительной вероятности будем считать, что полученные нами значения Sn совпадают с величиной о, и будем пользоваться табл. 1 для нахождения доверительной вероятности, то найдем неверные (завышенные) значения а.
Это результат того, что при определении среднеквадратичной ошибки из малого числа наблюдений мы находим последнюю с малой точностью. Происходящая вследствие этого погрешность в определении ошибки приводит к тому, что когда мы заменяем Sn на о, мы уменьшаем надежность нашей оценки, причем тем сильнее, чем меньше величина п.
Еще сравнительно недавно указанные здесь обстоятельства не всегда принимались во внимание, да и сейчас часто не делают различия между генеральной (а2) и выборочной (ап) дисперсией.
Пусть мы определили выборочную дисперсию Sn для некоторого числа наблюдений п и хотим определить для заданного нами доверительного интервала ±Ах соответствующую ему доверительную вероятность а.
43
Очевидно, что если мы в формуле (23) заменим о на sw, то такому доверительному интервалу будет соответствовать меньшая доверительная вероятность. Для того чтобы учесть это обстоятельство, интервал Д# можно представить в виде
Дх = -^, (24)
откуда
Ax Vі п
Kn = —-. (25)
Мы видим, что tan — величина, аналогичная е: она играет ту же роль, но в случае, когда число измерений, из которых определена ошибка sn, не очень велико. Be* личины tan, носящие название коэффициентов Стьюдента, вычислены по законам теории вероятностей для различных значений п и а и приведены в табл. II, помещенной в Приложении.
Сравнивая приведенные в ней данные с табл. I, легко убедиться, что при больших п величины tan стремятся к соответствующим значениям величин е.
