Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
над 2.
Задача 2. Построить поле разложения многочлена х3 — 2 над полем рациональных чисел (Е). Показать, что если а — один из корней этого уравнения, то (Е) (а) не является нормальным.
Задача 3. Если Дх)— неразложимый над полем К многочлен, то во всяком нормальном расширении / (х) разлагается на множители одинаковой степени, сопряженные над К.
Задача 4. Каждое квадратичное над Д поле нормально над Д.
§ 42. Корни из единицы
Выше были изложены основные общие положения теории полей. Прежде чем развивать теорию дальше, применим полученные теоремы к нескольким уравнениям очень частного вида над специальными полями.
Пусть п — натуральное число. Корни многочлена хп — 1 в произвольном поле К называются корнями п-степени из единицы. Для произвольного корня п-й степени из единицы ? справедливо, таким образом, соотношение
Ея = 1.
КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ
151
Если К — поле комплексных чисел, то корни п-й степени из единицы можно представить геометрически как точки на единичном круге:
? = eia = cos а +1 sin а, где угол а удовлетворяет условию
«а = А?2л
и определяется равенством
и 2 л
a = k .
п
Если для k задавать значения 0, 1, 2, n —1, то получится п точек
1, Г], Г|2, if-1 (rf = l),
которые делят круг на п равных дуг. Многочлен хп — 1 имеет, таким образом, в поле комплексных чисел ровно п различных корней, которые представляются как степени одного-единствен-ного примитивного корня т] п-й степени из единицы.
Рассмотрим теперь корни из единицы в произвольном поле К-Прежде всего имеет место теорема:
Корни п-й степени из единицы в поле К образуют абелеву группу относительно умножения.
Из ак = 1 и bn= 1 следует, что (ab)n == 1 и (аг1)п=1. То, что эта группа абелева, очевидно.
Докажем теперь одну лемму об абелевых группах. Пусть Ьъ ..., Ьп — элементы абелевой группы, порядки гъ ..., гт которых попарно взаимно просты. Тогда произведение
Ь = ЬгЬг ... Ьт
имеет порядок
г = нг2 ... гт.
Доказательство. Так как br = b\b[ ... Ьгт = \, порядок элемента Ь является во всяком случае делителем числа г. Если q — произвольное простое число, содержащееся в г, то q входит в совершенно определенный множитель rI и r/q делится на все остальные г;-, но не на гг. Следовательно,
brl«=b\14 ... ЬГт = bri,q Ф 1.
Так как это рассуждение проходит для каждого входящего в г простого числа q, порядок элемента Ъ равен в точности г.
Если теперь К — поле характеристики р, то положим п — pmh, где А не делится на р. Для каждого корня п-й степени из единицы ? в соответствии с задачей 1 из § 37 имеет место равенство
(?Л — 1 )Рт = ?нРт — 1 = — 1 = 0;
152
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ VI
следовательно,
?*-1=0.
Таким образом, корни п-й степени из единицы являются одновременно корнями /і-й степени из единицы, где к не делится на характеристику поля. В случае характеристики нуль можно положить к = п. В обоих случаях
?й=1,
где к не делится на характеристику поля.
Будем исходить из простого поля П характеристики 0 или р и присоединим к П все корни многочлена
ї(х) = хн-\.
Получающееся таким способом поле разложения 2 называется полем деления круга или полем корней к-й степени из единицы над простым полем П. Многочлен / (х) распадается в этом случае на различные линейные множители; действительно, производная
Г (х) = кх11 1
обращается в нуль лишь при х = 0, так как к не делится на характеристику поля; следовательно, /' (х) не имеет общих корней с ! (х). Поэтому в 2 содержится ровно к корней к-й степени из единицы.
Разложим теперь число к в произведение степеней простых чисел:
т т.
1 = 1 I
В группе корней к-й степени из единицы существует не более к!Ці элементов а, для которых ак/д‘ = 1, потому что многочлен хкіЧі — 1 имеет самое большее к/Ці корней. Следовательно, в группе есть элемент аь для которого
ан'^Ф 1.
Элемент
имеет порядок гг. (Так как ггя степень этого элемента равна I, его порядок является делителем числа /у; но его (гг/дг)-я степень отлична от 1 и поэтому его порядок является несобственным делителем числа г{.) П[оизведение
т
1
КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ
153
будучи произведением элементов взаимно простых порядков гъ ... ..., гт, имеет порядок
Корень из единицы, порядок которого равен в точности к, мы называем примитивным корнем /г-й степени из единицы.
Степени 1, ?, ?2, с"“1 примитивного корня из единицы
различны; так как вся группа имеет лишь к элементов, все ее элементы являются степенями элемента ?. Итак:
Группа корней к-й степени из единицы циклична и порождается любым примитивным корнем из единицы ?.
Число примитивных корней /г-й степени из единицы теперь легко определить. Для начала обозначим его через ф(/г). Число Ф (К) равно числу элементов порядка /г в циклической группе порядка /г1). Во-первых, если /г —степень простого числа, к = ду, то ду степеней элемента ?, за исключением д'1~1 степеней элемента ?9, являются элементами /г-го порядка; следовательно,
Далее, если /г разлагается в произведение двух взаимно простых множителей, /г = гэ, то каждый элемент /г-го порядка однозначно представим в виде произведения некоторого элемента г-го порядка и некоторого элемента я-го порядка (§ 17, задача 2); обратно, каждое такое произведение является элементом /г-го порядка. Элементы г-го порядка принадлежат циклической группе г-го порядка, порожденной элементом ?*; число этих элементов равно, следовательно, ф (г). Точно так же число элементов я-го порядка равно ф(в); следовательно, для числа произведений имеет место равенство
