Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Эту теорему называют теоремой о независимости плейсов.
550
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. XIX
Далее, имеет место следующая теорема:
II. Любая отличная от константы функция г имеет конечное число корней и полюсов.
Доказательство. Каждое нормирование V? поля К является продолжением некоторого нормирования да поля А (г). Есть только два плейса поля А (г), относительно которых г может иметь положительный или отрицательный порядок: плейсы 2 = 0 и г = оо. Только для этих плейсов соответствующие нормирования XV отличны от нуля. Каждое из этих нормирований да может быть продолжено лишь конечным числом способов до нормирований № ПОЛЯ К. Следовательно, существует только конечное множество плейсов поля К, для которых № (г) Ф 0.
Тем же способом показывается, что каждая отличная от константы функция обладает по крайней мере одним корнем и по крайней мере одним полюсом. Действительно, нормирование поля А (г), соответствующее плейсу 2 = 0, соответственно плейсу 2 = со, может быть продолжено по крайней мере одним способом до нормирования поля К. Отсюда следует
III. Функция г не имеющая полюсов, является константой.
Разложения в ряд (5) и (6) имеют место не только для элементов поля К, но и для элементов пополнения Оц. Действительно, если 2 —такой элемент и Ь — его порядок, ТО 2Я'й —элемент нулевого порядка. Но такой элемент может быть как угодно точно, т. е. с точностью до сколь угодно большого порядка, аппроксимирован элементом у из 3- В этом случае достаточна аппроксимация с точностью до порядка 1. Для элемента у вновь имеет место сравнение
у^с1<в1 + ... + с/(о/(р).
Разность у — (с1<л1-\-...-\-с)со^) должна, следовательно, делиться на я, и, так как разность гя-* — у тоже делится на я, то для суммы этих разностей, т. е. для выражения (4), получается некоторое представление в виде кратного элемента я; процедуру можно продолжить так же, как это делалось выше.
§ 150. Дивизоры и их кратные
Пусть К — снова поле алгебраических функций одной переменной над полем констант А. В дальнейшем функции из К будут обозначаться лишр буквами и, о, да, х, у, г, 6 и я.
Конечное множество плейсов р с произвольно приписанными целыми показателями степени й определяют некоторый дивизор И поля К. Мы записываем О с помощью символа произведения конечного числа сомножителей:
о = П^- (1)
§ 150]
ДИВИЗОРЫ И ИХ КРАТНЫЕ
?551
Сомножители в этом произведении могут переставляться произвольным образом. Если некоторый показатель степени д равен нулю, то множитель в произведении Б можно опустить. Если все показатели степени й равны нулю, то мы пишем 0 = (1) и называем такой дивизор единичным. Если все й ^ 0, то Б называется целым дивизором.
Два дивизора можно перемножить, складывая показатели степени у одинаковых множителей р. Каждому дивизору Б с показателями степени д можно сопоставить обратный дивизор Б 1 с показателями степени —й, так что Б~1Б = (1). Тем самым дивизоры образуют абелеву группу — группу дивизоров поля К. Отдельные плейсы г называются также простыми дивизорами. Они порождают всю группу дивизоров.
Каждая функция г определяет некоторый дивизор
(г) = Г1 Р*.
где й — порядок функции г относительно V- Таким образом, каждой константе г соответствует единичный дивизор. Произведению уг соответствует произведение дивизоров (у) и (г):
Ы = (У) (*)•
Степень простого дивизора р, т. е. степеньДюля классов вычетов 3 = 3/Р над Д, будет постоянно обозначаться, как и в § 149, через /. Сумма степеней входящих в (1) множителей
п(Б)=^д[
называется степенью дивизора Б.
Вместо (г) Б пишут просто гБ. Функция г называется кратной дивизора Б, если гБ”1 — целый дивизор, т. е. если для всех плейсов р данного поля имеет место неравенство
(2)
Таким образом, кратными дивизора Б являются те функции г, для которых каждый плейс с с1 = /г>0 является корнем не менее чем &-го порядка, плейс с показателем д = —полюсом
не более чем &-го порядка, а относительно остальных плейсов эти функции остаются конечными, т. е. указанные плейсы не являются их полюсами.
Кратные дивизора А1 образуют некоторый Д-модуль, который будет обозначаться через ЭЛ (А). Покажем, что ЭЛ (А) имеет конечный ранг над Д.
Пусть Л=]^[ра. Так как в произведение входит лишь конечное число множителей р" с а>0, существует лишь конечное множество плейсов которые могут служить полюсами для кратной
552
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. XIX
дивизора Афункции г. Разложение в степенной ряд функции г относительно любого такого плейса может быть представлено в виде
г = (С-а, 1®1 +.. • + С-а,)<&>)) л~а +.. ? ,
где 10{ обозначают прежние и>1.
Число коэффициентов соответствующих отрицательным
степеням п~а, ..., л-1, равно а/ для фиксированного плейса следовательно, суммируя по всем полюсам р с а~р> 0, получаем
т = •
Докажем теперь, что существует не более /л + 1 линейно независимых кратных г дивизора А х.
Действительно, если бы существовали т-\- 2 таких кратных гъ ..., гт+2, то можно было бы построить линейную комбинацию
2 = 6121 + ... + Ьт+22т+2 (3)
с постоянными коэффициентами, удовлетворяющую следующему условию: все коэффициенты при отрицательных степенях в разложении функции 2 равны нулю. Это на самом деле т линейных условий на т-\-2 коэффициентов Ьъ ..., Ьшг. Каждое линейное условие, связывающее коэффициенты Ьи понижает ранг модуля, состоящего из функций (3), не более чем на 1; следовательно, функции 2, которые удовлетворяют линейным условиям с_(,у = 0, составляют модуль, ранг которого равен или превосходит (т + 2) — т = 2. Но эти функции г не имеют полюсов, и, следовательно, в силу теоремы III из § 149 являются константами. Константы составляют модуль ранга 1 над А. Следовательно, может существовать лишь т +1 линейно независимых кратных дивизора Л“1, т. е. ранг модуля ЭЛ (Л) не превосходит т+1.
