Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициенты аі = Ьі/Ь0 из (1) не могут все быть независимыми от х, так как иначе х оказался бы алгебраическим элементом над А; поэтому один из них, скажем,
9 = аг = й%
&0 (X)
должен фактически зависеть от х\ запишем его в несократимом виде:
й(*Г
Степени многочленов д(х) и /г(х) не превосходят т. Многочлен ? (2)-0й (г) =?(*)-А (2)
(не являющийся тождественным нулем) имеет корень г = х, а потому он делится на /0 (г) в кольце 2 [г]. Согласно § 30, если перейти от этих рациональных по х многочленов к целым по х многочленам с содержанием 1, то отношение делимости сохранится, и мы получим
АМя(2)-?(*)А(г; = ?(х, 2)/(х, 2).
ПРОСТЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
253
Левая часть в этом равенстве имеет степень по х, не превосходящую т. Но справа уже многочлен / имеет степень т; следовательно, степень левой части в точности равна т и д(х, г) не зависит от х. Однако зависящий лишь от г множитель не может делить левую часть (см. выше); поэтому ^ (я, г) является константой:
(г)-?(*)/! (г) = (?-/(л;, г).
Так как присутствие константы ц роли не играет, строение многочлена / (х, г) описано полностью. Степень многочлена / {х, г) по х равна т\ следовательно (по соображениям симметрии), и степень по г равна т, так что т — п. По меньшей мере одна из степеней многочленов g(x) и к(х) должна фактически достигать значения т; следовательно, и функция 6 должна иметь степень т по х.
Тем самым, так как с одной стороны установлено равенство (А (х): А (0)) = т,
а с другой — равенство
(А (х): 2) = т; то, поскольку 2 содержит А (6),
(2:Д(0)) = 1,
2 = А (0).
Теорема Люрота имеет следующее значение для геометрии.
Плоская (неприводимая) алгебраическая кривая ^ т]) = 0 называется
рациональной, если ее точки, за исключением некоторого конечного числа из них, представляются рациональными параметрическими уравнениями
!=/(*).
?п=я(0-
Может оказаться так, что каждая точка кривой (за исключением конечного числа) получается при нескольких значениях параметра <. (Например:
1 = **.
Т)=/2+1;
для / и — ? получается одна и та же точка.) В силу теоремы Люрота с помощью удачного выбора параметра это явление всегда можно обойти. Действительно, пусть Д —поле, которое содержит коэффициенты функций !, g, и ^ —какая-нибудь переменная. Тогда 2 = А (/, ц) является подполем поля Д (/). Если V — примитивный элемент поля 2, то
/(О = /1(0 (рациональная функция), g^{)=g\{t') (рациональная функция),
*'=<Р(/> g) = (P(^’ Ч)> и легко проверить, что новое параметрическое представление
!=/1 (П,
254
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ X
дает ту же кривую; в то же время знаменатель функции ф (х, у) обращается в нуль лишь в конечном числе точек кривой, так что всем точкам кривой (за исключением конечного числа) соответствует лишь одно значение параметра V.
Задача. Если поле Д (х) нормально над некоторым подполем Д(т]), то многочлен (1) разлагается в нем на линейные множители. Все эти линейные множители получаются из одного из них какой-либо дробно-линейной подстановкой от х; например, из множителя г — х. Эти дробно-линейные преобразования составляют конечную группу, оставляют инвариантной функцию 0 — ~ё(х)1Ь(х) и этим определяются однозначно.
§ 74, Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость
Пусть й — расширение заданного поля Р. Элемент у из й называется алгебраически зависимым от иъ ..., ип, если и ал-гебраичен над полем Р (иъ ..., ип), т. е. если и удовлетворяет алгебраическому уравнению
а0 (и) и® + «х (и) Уг_1 + • • • + % (и) — О,
коэффициенты а0 (и), ..., аё(и) которого являются многочленами от «х, ... , ип с коэффициентами из Р и не все равны нулю.
Отношение алгебраической зависимости обладает следующими основными свойствами, аналогичными основным свойствам отношения линейной зависимости (см. § 20):
Основная теорема 1. Каждый элемент иі (і = 1, ..., п) алгебраически зависит от элементов и±, ... , ип.
Основная теорема 2. Если V алгебраически зависит от
«х, ..., и„, но не от «х и„_х, то ип алгебраически зависит
от «х, ..., «л-х. и-
Доказательство. Будем считать, что иъ ..., и„_х присоединены к основному полю. Тогда V алгебраически зависит от т. е. имеет место алгебраическое соотношение
а0 (ипу и + аг (ип) 4.... + ае (ип) =0. (1)
Расположим это уравнение по степеням элемента тогда
ьо (V) анп + Ьх (и) иІІп~1 + ... + Ьн (н) = 0. (2)
Согласно условию элемент V трансцендентен над полем Р (ыг, ... ..., ил_х). Многочлены Ь0(а), ..., Ьп(р) по этой причине либо тождественно равны нулю как многочлены от о или отличны от нуля. Все они, однако, не могут быть тождественно равны нулю по V, так как иначе левая часть в (1) была бы тождественным нулем по и, т. е. выполнялись бы равенства а0 (ип) = ах («„) = ... .. . = % (ип) = 0, что противоречит условию. Следовательно, не все входящие в (2) коэффициенты Ьь (у) равны нулю; тем самым, в силу (2) элемент и„ алгебраически зависит от у над полем Р(«1 ия х).
алгебраическая зависимость
255
Основная теорема 3. Если элемент ио алгебраически зависит от и,, у, и каждый и,- (/ = 1, ... ,э) алгебраически
