Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Дальнейший прогресс в алгебре наметился в середине 30-х годов, когда Биркгоф начал изучение произвольных универсальных алгебр, а А. И. Мальцев заложил основы еще более общей теории, пограничной с математической логикой,—теории алгебраических систем. Развитие этой теории было вызвано глубокими внутренними причинами и настоятельными запросами приложений, в которых все чаще возникали алгебраические системы, не сводящиеся к классическим. Указанные более поздние исследования х) остались за рамками книги.
Новосибирск, Академгородок.
10 марта 1975 г. Ю. И. МерЗЛЯКОв
1) См. Мальцев А. И. Алгебраические системы.—М.: Наука, 1970.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРА
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА *)
Во втором издании была существенно расширена теория нормирований. В последнее время она становится все более важной для теории чисел и алгебраической геометрии. Поэтому здесь я изложил главу «Теория нормирований» гораздо подробнее и яснее.
Отвечая многочисленным пожеланиям, я вновь включил разделы о полном порядке и трансфинитной индукции, опущенные во втором издании, и на этой основе изложил во всей общности разработанную Штейницем теорию полей.
Благодаря совету Зарисского понятие многочлена удалось ввести легко и ясно. Кроме того, благодаря любезному замечанию Переманса улучшено изложение теории норм и следов.
Ларен (Северная Голландия), июль 1950. В. Л. ван дер Варден
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА
Недавно скоропостижно скончавшийся алгебраист и теоре-тико-числовик Бранд закончил рецензию третьего издания этой книги в годовом отчете немецкого математического общества (том 55) следующими словами:
«Что касается названия2), то я бы приветствовал выбор для четвертого издания более простого, но и более сильного заго-
х) В переводе два тома немецкого оригинала объединены в один. Перевод выполнен с 8-го издания первого тома (главы 1—11) и 5-го издания второго тома (главы 12—20). — Прим. ред.
г) В первых изданиях книга называлась «Современная алгебра». — Прим.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРА
И
ловка — «Алгебра». Книга, которая так много дала, дает и будет давать лучшей части математики, не должна своим названием вызывать подозрение, будто бы она посвящена одному какому-то современному течению, которое еще не было известно вчера, а завтра, возможно, будет забыто».
Следуя этому совету, я изменил заголовок книги на «Алгебра».
Указанию М. Дойринга я обязан более целенаправленным определением понятия «гиперкомплексная система» и расширением теории Галуа полей деления круга настолько, насколько этого требует ее приложение к теории циклических полей.
На основании писем из различных стран внесены многочисленные мелкие исправления. Благодарю авторов этих писем.
Цюрих, март 1955. Б. Л. ван дер Варден
ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА
Первое издание задумывалось как введение в новую абстрактную алгебру; разделы классической алгебры, в частности, теория определителей, предполагались известными. Но сегодня эта книга используется студентами в основном как первое введение в алгебру. Поэтому оказалось необходимым ввести главу «Векторные и тензорные пространства», в которой подробно обсуждаются основные понятия линейной алгебры и, в частности, понятие определителя.
Первая глава «Числа и множества» была облегчена тем, что понятие порядка и полного порядка были перенесены в новую девятую главу. Лемма Цорна выводится непосредственно из аксиомы выбора. Тем же методом (по X. Кнезеру) проводится доказательство теоремы о полном упорядочении.
В разделе о теории Галуа были использованы некоторые идеи из известной книги Артина. Пробел в одном доказательстве в теории циклических полей, на который мне многие указывали, ликвидирован в § 61. В § 67 доказывается существование нормального базиса.
Первый том теперь заканчивается главой «Вещественные поля». Теория нормирований должна быть представлена во втором томе.
Цюрих, февраль 1966.
Б. Л. еан дер Варден
12
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРА
ПРЕДИСЛОВИЕ к ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА
В предлагаемом издании исправлено несколько опечаток, на которые я обратил внимание благодаря любезным письмам. Все прочее осталось неизменным.
Цюрих, апрель 1971. Б. Л. ван дер Варден
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ ВТОРОГО ТОМА
В начало второго тома вошли две новые главы: первая —об алгебраических функциях одной переменной, охватывающая материал вплоть до теоремы Римана —Роха для полей с произвольным полем констант; другая —о топологической алгебре, посвященная в основном пополнению топологических групп, колец и тел. Я благодарю за многочисленные полезные замечания профессора Г. Р. Фишера, прочитавшего эти две главы в рукописи.
Глава «Общая теория идеалов» расширена путем введения важных теорем Крулля о символических степенях простых идеалов и о цепях простых идеалов. Сильнее выявлена связь между теорией идеалов алгебраически замкнутых колец и теорией нормирований. В главу «Линейная алгебра» введен раздел об анти-симметрических билинейных формах.
В главе «Алгебры» увеличено число примеров, развита теория радикала по Джекобсону без условия конечности и сделано большее ударение на основополагающих идеях Эмми Нётер о прямых суммах и пересечениях модулей. Благодаря сочетанию методов Джекобсона и Эмми Нётер удалось значительно упростить доказательства основных теорем.
