Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Z2
z t *2 + 2az sin а + а2
-— In-
4а zi—2az sin а 4-д2
Ch(Z-VS)
259
Продолжение табл. I
100
101
102 103
104 105
2 \(-аГ
2 a* cos— п V /г/2 / 2
, Bn (х) — полиномы Бернулли
Bn (X) п\
Wn (х) полиномы Чебышева второго рода
/г я т
, т = 1, 2,...
Qn (х) = sin (л cos I JC)
/-г/(^-а)
г(е^-1)
*2
г2—2xz + 1
Z Sin JT//7Z 1 + Z~
z2 — 2z cos л/т +I 1 —
Z
z? — 2xz + 1
ПРИЛОЖЕНИЕ B
7-ИНТЕГРИРОВАНИЕ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА И ЕГО СВЯЗЬ С ТЕОРЕМОЙ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ *
7-интегратор нулевого порядка является простым числовым интегратором прямоугольного типа, который можно подобрать для решаемой задачи. Этот интегратор синтезирован таким образом, что его частотные характеристики могут варьироваться. Таким образом, 7-интегратор может быть подобран для точного и эффективного интегрирования во многих разнообразных случаях. Все Г-интеграторы обладают устойчивостью, точностью и параметрами регулирования шума, которые можно изменять.
При подборке Г-интегратора для интегрирования линейной системы с постоянными коэффициентами его параметры могут быть выбраны для осуществления точного численного интегрирования, при этом они инвариантны во времени. Г-интегрирование нулевого порядка, применяемое для численного интегрирования нелинейных систем или линейных систем с переменными во времени коэффициентами, часто более точно, чем при использовании численных интеграторов высоких порядков. Возникает вопрос: «Почему же Т-интегрирование так точно?» В этом дополнении как раз ятредстав-
*Смит Дж. М. ^-интегрирование нулевого порядка и его отношение к теореме о среднем значении. Т. 6, Ч. I. Доклады 6-й ежегодной конференции по моделированию в Питсбурге, апрель 24—25, 1975.
260
лен ответ на вопрос. Это происходит из-за того, что интегрирование нулевого порядка можно осуществить, применяя теорему о среднем значении интегрального исчисления. Теорема о среднем значении (в простейшем изложении) доказывает, что существует интегратор прямоугольного типа, точно интегрирующий произвольную непрерывную функцию в ограниченном интервале. Таким образом, окончательно Г-интегрирование нулевого порядка — это концепция численного интегрирования с использованием теоремы а среднем значении.
Теорема о среднем значении в интегральном исчислении
Допустим /' непрерывна на ограниченном интервале [а, Ь]. Тогда существует такое число 0, для которого при а
\f'dt = {b-a)f'{b). (В. 1)
а
В дальнейшем мы будем ссылаться на (В.1) или на формульное выражение теоремы о среднем значении. Левая сторона уравнения является интегралом, с помощью которого нам хотелось идеально провести счет, а правая сторона демонстрирует возможность счета с помощью численного интегрирования методом прямоугольников.
Из теоремы о среднем значении следует, что интегрирование методом прямоугольников позволяет точно интегрировать произвольную подынтегральную функцию на интервале [а, 6], если число 0 определено. Одним из лучших подтверждений того, что автор нашел применение теоремы о среднем значении для оценки интервалов, — это обратиться, например, к Куранту *. Теорема о среднем значении проиллюстрирована графиком на рис. В.1 для случая, когда f — простая линейная функция. В этом случае 0, удовлетворяющая -уравнению о среднем знач-ении, является средним значением на интервале.
Предлагаются четыре варианта представления теоремы о сред- • нем значении для оценки интегралов.
Допустим, f непрерывна в ограниченном интервале [а, Ь]. Тогда существуют числа Я и v, так что
Вариант 1.
(п+1)Т
f f {t)dt = Tf {пТ + уТ).
nt
Вариант 2.
(п + 1)Т
J f(t)dt = T\f{nT).
nt
* Courant R. Differential and Integral Calculus. Wiley Interscience, Vol. I, 2nd Ed., 1937, 1959 reprint, pp. 126—128.
261
Рис. B.l. К теореме о среднем
значении: ь
(р-а)/' (O)=J/' (X) dx
Период
Рис. В.2. Варианты теоремы о среднем значении
Вариант 3.
(п + 1)Т
J f>(t)dt = TY /'(лГ-И Г)-явная форма.
nt
Вариант 4.
(п+1)Т
j /¦' (/)dt = ТХ/[(л + 1) Г + уЛ"- неявная форма.
Три из этих вариантов представления проиллюстрированы на рис. В.2. Первый служит для того, чтобы сместить подынтегральную функцию во времени на величину уТ. Это смещение интегрируемой функции во времени относительно пТ позволяет эффективно выбирать средние значения. Второй вариант позволяет изменить масштаб текущего значения интегрируемой функции (при помощи параметра І) таким образом, чтобы прямоугольная область, образованная «Kf(пТ)» и базой «Г»,удовлетворяла уравнению о среднем значении. С помощью третьего и четвертого вариантов осуществляют и масштабирование и смещение во времени интегрируемой функции. В этом случае требуется найти комбинации К и уу удовлетворяющие теореме о среднем значении. Отличие между формами 3 и 4 состоит в том, что время смещения в варианте 3 отнесено к текущему его значению, а время смещения в варианте 4 — к последующему его значению.
Вывод формулы Т-интегрирования
Получение формулы численного интегрирования основано на теореме о среднем значении, включающей синтез прямоугольного интегратора. При этом осуществляется следующее:
