Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
228
Способ Рунге—Кутта для систем уравнений четвертого порядка принимает вид
kx + 2k2 + 2k3 + a4 .
6
I1 + 2I2 + 2I3 + h
zn+l — zn < g
kx = Lxf(xn, yn, zn); I1 = LXg[Xn, yn, zn);
k2=Lxf(xn+^-, У+Y' z« + "2"); l2=Lxg{xn+ ^-, yn + Y' *n+"2~); h=Lxf [xn+-^-, yn+Y' Z" + "2"); l3 = Lxf(xn+Jf-, yn+^, гя + ±) ;
k4=Lxf(xn + Lx, yn + k3, zn-\-13); l4=Lxf {x„ +Lx, yn + k3, Zn +13). Для дифференциального уравнения второго порядка
у"=fix, у, у')
по методу прогноза и коррекции Мильна имеем
yn+i={/;_з+^f- (2«/;_2 -*,;_,+ю
при є ~~ Lx?;
Ax
Уп+г = Уп-г + — (Уп-1 + АУп + 1) по методу Рунге—Кутта получим
ах
Уп+1 = Уп + Ьху'а + — (A1 + k2 + A3)
, при є — да;5;
у«+1=y'A-j{kl+2k*+2кз+k<]
It1 = LXf[Xn, уп, уп); k% = Lxf(xu+-^t yn+^-y'n + ^L, у'Лк.у
*з = Л,/(хп+ Jf- , yn+^± + ^L, уп + ^у, kt=Lxf(xn + Lx, yn+Lxyn + ^f-, y'n + k3y
Для дифференциального уравнения второго порядка вида
У"=fix, у)
229
метод Мильна дает
A Jt 2
Уп+1 = Уп + Уп-2-Уп-3+ — {5Уп+2Уп-1+5У"п~2Ї
, при 8~Дд^;
Уп+1=2Уп-Уп-2+-^-(Уп+1+ Wn+У'п-г)
метод Рунге—Кутта
Уп,г = Уп + ^[у:+(^^)]
Уп+1 Уп\ 636
при є~Длг4;
kx = Lxf(xn, уп);
k2 = Lxf(xn+-^- уп + -^^+-^-^ ;
k3=Lxf(xn + ax, y„ + A^; + -y-*2j.
Выражения Рунге—Кутта для дифференциального уравнения второго порядка, содержащие значение скоростей, интегрируются методом Эйлера. Для небольших машин с ограниченной памятью эти альтернативные формы численной оценки интегралов особенно полезны, потому что они обходятся без интегрирования двух дифференциальных уравнений первого порядка, что было бы необходимо при решении уравнения второго порядка.
Некоторые заключения общего характера по методам прогноза и коррекции
Проведена большая работа по разработке методов прогноза н коррекции. Эти способы изучали и развивали Хэмминг, Мильна, Адаме, Бэшфорт и другие авторы. Авторский опыт в методах прогноза и коррекции приводит к следующим рекомендациям.
1. При использовании одношаговых алгоритмов в случае моделирования в естественном масштабе времени на малогабаритных машинах необходимо исследовать погрешности округления, особенно при наличии разности малых чисел. В то время как модификаторы в основном уменьшают погрешность численного интегрирования иногда путем введения коэффициента 10, они могут увеличить погрешность округления в микрокомпьютерных устройствах.
На своем опыте автор убеждался, что модификатор уменьшает точность интегрирования на большом интервале.
2. Если встречается числовая неустойчивость при моделировании в истинном масштабе с применением алгоритмов прогноза и коррекции с модификаторами, устойчивость процесса интегрирования может быть улучшена их устранением.
3. При моделировании в истинном масштабе времени (где фиксируется размер шага интегрирования и модификаторы не могут
230
применяться для его изменения), объединяя порядок уровней точности, можно повысить точность вычисления в целом.
4. Так же, как и любой метод численного интегрирования, основанный на интегрировании интерполированных или экстраполированных многочленов, эти методы чувствительны к разрывам в интегрируемых функциях. При больших ошибках и при любом заданном шаге интегрирования модификатор может быть указателем разрыва. В этом случае алгоритм интегрирования сам может быть модифицирован таким образом, чтобы не изменить размера шага интегрирования до тех пор, пока большая ошибка модификатора соблюдается при выбранных п периодах.
Другим способом является изменение размера шага интегрирования в том случае; если модификатор обнаруживает изменение точности процесса интегрирования.
5. Обсуждаемым здесь методам прогноза и коррекции необходимы начальные значения. В настоящее время методы Рунге—Кутта широко применяются для вычисления каждого шага процесса интегрирования, но часто забывается, что для этих методов необходимы четыре итерации для каждого следующего шага, в то время как в методах прогноза и коррекции необходимы две итерации. При этом в обоих методах достигается одинаковая степень точности.
Часть IV
МЕТОДЫ
УСКОРЕННЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
Глава 9. ГНЕЗДОВЫЕ СКОБОЧНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ЭКОНОМИЗАЦИЯ ЧЕБЫШЕВА
В этой главе представлены определенные элементарные методы совершенствования эффективности расчетных функций. Эти методы просты, легко применяются и запоминаются. Они имеют широкое применение и полезны проектировщикам, начинающим моделировать. Эти методы хорошо известны большинству специалистов по системам матобеспечения. Те инженеры, кому неизвестны эти методы, познакомятся с оценкой скоростной функции.
9.1. ГНЕЗДОВОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
Многие функции, представляющие интерес для специалистов, могут быть записаны степенными рядами, которые можно получить, применяя разложения Тейлора, Маклорена, полиномы Чебы-шева и т. д. Кроме того, ряд эмпирических данных может быть подобран с помощью степенного ряда. Таким образом, всегда необходимо иметь дело с полиномом
f(x) = a0 + alx+a2x2 + u3x3 + ... -\-апхп-\-... (9. 1)
Вычисление этого ряда содержит следующие операции определения п членов частной суммы f(x):
