Принцесса или тигр - Смаллиан Р.М.
Скачать (прямая ссылка):
— Кроме того,— продолжал он,—та же идея действует и тогда, когда мы используем 4 операционных числа или даже более. Например, мы можем найти числа X, У, Z и \У, при которых число X порождает 78 У, число У порождает повторение Z, число Z порождает обращение \У, а число \У порождает ассоциат 62Х. Возможности практически бесконечны, причем их удивительное многообразие обусловлено всего лишь правилами 1 и 2.
Решения
1. Одно из решений состоит в том, чтобы принять Х=4325243 и У=524325243. Поскольку число 25243 порождает число 5243, то число 325243 порождает ассоциат 5243, или число 524325243, которое и есть У.
* Что соответствует случаю, когда одно или два числа из тройки А, В, С мы полагаем равными единице.— Прим. перев.
148
Далее, так как число 325243 порождает У, то число 4325243 порождает обращение У, но 4325243 — это как раз и есть X. Таким образом, X порождает обращение У. Кроме того, У, очевидно, порождает повторение X (потому что У—это есть число 52Х, а поскольку число 2Х порождает X, то число 52Х будет порождать повторение X). Итак, X порождает обращение У, а У порождает повторение X.
2. Крейг воспользовался законом Мак-Каллоха, а именно: для любого числа А существует некоторое число X (а именно число 32АЗ), которое порождает число АХ. Так, в частности, если мы примем А за число 2, то получим некоторое число X (а именно число 3223), которое порождает 2Х. Число же 2Х в свою очередь будет порождать X. Таким образом, в качестве решения этой задачи подходит пара чисел 3223 и 23223: 3223 порождает 23223, а 23223 порождает 3223.
3. Крейг решил эту задачу следующим способом. Он рассудил, что ему надо всего лишь найти такое число X, которое порождает 21X. Тогда, положив У=27Х, мы получим, что число X порождает У, а число У порождает IX. Такое число X он тоже нашел—это число 32273. Поэтому решение Крейга имеет вид: Х=32273, У=2732273.
То же самое происходит, конечно, и в том случае, если вместо конкретного числа 7 мы возьмем любое число А. В самом деле, если Х=322АЗ, а У=2А322АЗ, то число X будет порождать У, а число У будет порождать АХ.
4. Что же касается Мак-Каллоха, то он подошел к решению данной задачи несколько иначе. Он начал с того, что стал искать такое число У, которое порождает 72 У. Теперь, если обозначить через X число 2 У, то мы получаем, что число X порождает У, а число У порождает IX. При этом нам уже известно, как найти такое число У—надо взять У=32723. Итак, решение Мак-Каллоха имеет вид: Х=232723, У=32723.
5. Единственное, что нам нужно — это найти такое число X, которое порождало бы число А2ВХ. Тогда,
149
если МЫ ПОЛОЖИМ У=2ВХ, то будем иметь, что число X порождает А У, а число У порождает ВХ. Таким числом X, которое порождает А2ВХ, является число 32А2ВЗ. Стало быть, решение задачи выгладит так: Х=32А2ВЗ, У=2В32А2ВЗ. (В частном случае А= 7, В =8 и решением будет X=327283, У=28327283.)
6. Сначала попробуем решить эту задачу с помощью второго принципа Крейга, который, как мы помним, гласит, что для любого операционного числа М и для произвольного числа А существует некоторое число X (а именно число М32АМЗ), которое порождает М(АХ). Возьмем теперь два любых операционных числа М и N. Тогда, согласно этому принципу (если взять в качестве А число N2), найдется некое число X (а именно число M32N2MЗ), которое порождает число М(И2Х). Ясно также, что число N2X порождает №(Х). Поэтому если обозначить число N2X через У, то мы получим, что число X порождает М(У), а число У порождает ЩХ). Следовательно, решение задачи имеет вид: Х=М32ШШ, У= N2М32N2М3. (Для конкретной задачи, предложенной Фергюссоном, положим М=4 и N=3; тогда решение будет таким: Х=4323243, У=324323243. Читатель сам может убедиться в том, что X порождает обращение У, а У порождает ассоциат X; последняя часть этого утверждения особенно очевидна.)
Можно подойти к решению этой задачи и по-другому. Из решения задачи 5 мы знаем, что существуют числа Z и \У, при которых Z порождает ЙМ', а \У порождает (а именно числа Z=32N2MЗ и
\Л?=2М32М2МЗ). Тогда, согласно утверждению 1 из предыдущей главы, число MZ порождает М(.ЖУ), а число NW порождает Ы(М2). Поэтому если мы обозначим MZ через X, а ЫМ1 через У, то сразу получим, что число X порождает М(У), а число У порождает ЩХ). Таким образом, мы получаем то же самое решение: Х= М32Ы2МЗ и У=№М32№МЗ.
7. Здесь нам необходимо найти такое число X, которое порождало бы число M(AN2BX); согласно второму принципу Крейга, таким числом X является число
150
М32АМ2ВМЗ. Возьмем N2ВХ в качестве У; тогда число X порождает М(АУ), а число У (которое есть N2ВХ), очевидно, порождает ЛГ(ВХ). Итак, общее решение задачи (или, по крайней мере, одно из возможных общих решений) имеет вид: X = \f32AN2BM3, У= Х2ВМ32АЫ2ВМЗ. Для конкретного частного случая положим М=5, N=4, А =7 и В=89.
8. Согласно второму принципу Крейга, существует некоторое число X, которое порождает М(2ВХ), а именно Х—М322ВМЗ. Положим теперь У=2ВХ. Тогда X порождает М(У), а У порождает ВХ. Для конкретного частного случая примем М=3 и В =78; при этом решение будет иметь вид: Х=33227833, У=27833227833.
