Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем на основании этого определения сказать, что два многогранника подобны, если существует третий многогранник, равный одному из них и прямо гомотетичный другому.
234
Произведение обратной гомотетии на движение называется зеркальным подобием. Можно показать, что зеркальное подобие является произведением подобия на отражение от плоскости. Преобразование, обратное зеркальному подобию, является тоже зеркальным подобием. Частным случаем зеркального подобия является отражение от плоскости.
Два многогранника называются зеркально подобными, если существует зеркальное подобие, при котором один из них отображается в другой.
Из определения подобия следует, что подобные или зеркально подобные многогранники изоморфны, сходственные ребра их пропорциональны, а соответствующие плоские углы равны. Справедливо обратное предложение для выпуклых многогранников: два изоморфных выпуклых многогранника подобны или зеркально подобны, если сходственные ребра их пропорциональны, а соответствующие плоские углы равны.
ГЛАВА XII ОБЪЕМ МНОГОГРАННИКОВ § 73. Равносоставленные многогранники
Два многогранника называются смежными, если они имеют общие грани или части граней и не имеют общих внутренних точек. Соединение смежных многогранников F1 и F2 дает новый многогранник F, поверхность которого представляет совокупность граней многогранников F1 и F2 без многоугольников, общих для их поверхностей. Будем говорить в этом случае, что многогранник F разложен на два многогранника F1 и F2.
Многогранник F2 может в свою очередь представлять соединение многогранников F'2 и F's. Тогда многогранник F будет представлять соединение трех многогранников, т. е. разложен на три многогранника F1, F2 и F3. Вообще многогранник можно разложить на любое число частей, каждая из которых представляет многогранник.
Два многогранника называются равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многогранников.
Имеет место теорема: Два многогранника, равносо-став генные каждый с третьим многогранником, равносо-ставлены между собой. Доказывается она тем же способом,
235
что и аналогичная теорема о равносоставленных многоугольниках.
Теорема. Две прямые призмы равносоставлены, если основания их равновелики, а высоты равны.
Пусть F и Ф — две такие призмы. Основаниями их являются два равновеликих многоугольника. Как известно, такие многоугольники равносоставлены. Поэтому основания призм можно разложить на одно и то же число соответственно равных многоугольников. Примем каждую из этих частей за основание прямой призмы с той же высотой и построим эти призмы. Тогда данные призмы F и Ф окажутся разложенными на одинаковое число прямых призм, имеющих соответственно равные основания и равные высоты, а поэтому соответственно равных между собой. Теорема доказана.
При доказательстве мы опирались на предложение: две прямые призмы равны, если равны их основания и высоты.
На чертеже 207 в качестве иллюстрации к теореме показаны две равносоставленные прямые призмы: F— треугольная призма и Ф — прямой параллелепипед.
Черт. 207
Теорема. Два прямоугольных параллелепипеда равносоставлены, если произведение трех измерений1 одного из них равно произведению трех измерений другого.
Пусть измерения данных параллелепипедов F1 и F2 будут соответственно alt blt C1 и a2t b2, с2. По условию a1b1c1 — а2Ь2с2.
Ч а с т н ы й с л у ч а й. аг = а2. Следовательно, C1 O1 = =с2Ь2. Примем в качестве оснований параллелепипедов грани с ребрами C1^b1 и с21Ь2. ПараллелепипедыF1 и F2имеют равновеликие основания и равные высоты и поэтому равно-составлены.
1 Измерениями прямоугольного параллелепипеда называются длины его трех ребер, выходящих из одной вершины.
236
Общий случай. Возьмем третий параллелепипед F3 с измерениями а31 Ь31 C31 причем а3 Ь3 C3 = а± O1 C1 =
= а2 b2 C21 а3 — а1 и &3 = Ь2 ^отсюда C3 = -y^-j. По доказанному параллелепипед F3 равносоставлен с параллелепипедом F1 и равносоставлен с параллелепипедом F2. В силу свойства транзитивности равносоставленных многогранников параллелепипеды F1 и F2 равносоставлены.
Следствие. Каждый прямоугольный параллелепипед с измерениями а, Ь, с равносоставлен с прямоугольным параллелепипедом, имеющим измерения 1, 1 и р, где р = abc.
Можно доказать, что любая призма равносоставлена с прямой призмой, имеющей то же основание и ту же высоту. (Доказательство в качестве упражнения предоставляем читателю.) Отсюда и из доказанных выше теорем следует, что всякий многогранник, который можно разложить на конечное число призм, равносоставлен с некоторым прямоугольным параллелепипедом, два ребра которого являются единичными отрезками. Можно ли утверждать это для любого многогранника?
В 1902 г. Д е н доказал теорему, из которой следует, что существуют равновеликие, но не равносоставленные многогранники. В 1903 г. В. Ф. Каган дал более простое доказательство этого предложения, почему оно носит теперь название теоремы Дена—Кагана. Отсюда следует, что не всякий многогранник равносоставлен с призмой.
