Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 1. На данной прямой PQ построить такую точку М, чтобы касательная, проведенная из нее к данной окружности, имела данную длину (считая от точки M до точки касания).
Анализ (черт. 44). Пусть M — искомая точка. Она является точкой пересечения прямой PQ (фигура F1) и ок-
\
ружности с центром О и радиусом OM (фигура F2). OM является гипотенузой прямоугольного треугольника OMT, в котором катет ОТ представляет радиус данной окружности, а
Черт. 44
/
,yj катет TM равен данному отрез-I ку. Построив любой прямоугольный треугольник, равный ДОГМ, по данным катетам, мы определим радиус окружности F2. Построив последнюю, мы найдем точки пересечения ее с данной прямой и этим решим задачу.
54
В рассмотренной задаче геометрическими местами точек являются прямая P1 и окружность F2. К окружности F2 мы придем, отбросив условия принадлежности точки M прямой F1. Следовательно, F2 является геометрическим местом точек М, удовлетворяющих условию: касательная, проведенная из точки M к данной окружности, имеет данную длину (от точки M до точки касания).
Задача 2. Построить окружность данного радиуса а, касающуюся внешним образом данной окружности О и данной прямой PQ.
Анализ (черт. 45). Центр X искомой окружности определяется условиями:
а) окружность X касается данной прямой PQ;
?) окружность X касается внешним образом окружности О;
у) окружность X имеет данный радиус а. Отбросив условие ?, придем ~ -
сти О внешним образом. Как вытекает из § 11, F2 представляет окружность, концентрическую с окружностью О и имеющую радиус, равный сумме радиуса данной окружности и данного отрезка а.
Построение легко вытекает из проведенного анализа. При решении задач методом геометрических мест упрощается исследование. Число решений оказывается равным числу общих точек двух полученных геометрических мест. Если эти геометрические места не имеют общих точек, то задача не имеет решения (нуль решений).
к геометрическому месту точек P1— совокупности всех центров окружностей данного радиуса а, касающихся данной прямой PQ. Легко видеть, что фигура P1 представляет совокупность двух прямых, параллельных прямой PQ и расположенных от нее по разные стороны на данном расстоянии а. Отбросив условия а, придем ко второму геометрическому месту точек P2— совокупности всех центров окружностей данного радиуса а, касающихся данной окружно-
Черт. 45
55
В рассматриваемой задаче геометрические места F1 и F2 могут иметь самое большее четыре общие точки (этот случай представлен черт. 45). Значит, задача имеет самое большее четыре решения. При увеличении расстояния OA от центра окружности О до прямой PQ число общих точек фигур F1 и F2, постепенно уменьшаясь, сведется к нулю. В соответствии с этим задача может иметь любое число решений от четырех до нуля (нет решений).
Для успешного использования этого метода большое значение имеет знание различных геометрических мест и умение отыскивать геометрические места по данным условиям.
Простейшие геометрические места рассматриваются в школьном курсе. Примеры более сложных геометрических мест будут даны ниже (§ 43, 45).
ГЛАВА III ДВИЖЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 19. Общие свойства движений
В § 7 мы ознакомились с понятием движения. Приступим теперь к изучению отдельных видов движений.
Если движение /2 выполнено после движения Д, то, по свойству 3, результирующее преобразование будет тоже движением /', которое называется произведением движения /2 на Д.
Пусть вслед за этим совершено еще движение /3. Мы получим новое движение /, которое будет произведением движения /з на /':
/ = /з-/'-
Употребляя скобки, можно записать этот результат так:
/ = /. (f. Л).
Движение / мы назовем произведением движений Д, /2 и /з, взятых в указанном выше порядке, и запишем так:
/ = /з/2/і.
Рассмотрим наряду с этим движение /*, определяемое как произведение движения /" = /3 /2 на движение Д:
/*=ГД = (/3/2)/1.
56
Докажем, что движения / и /* совпадают. Возьмем произвольную точку М. Пусть:
движение Д отображает M в точку M1, движение /2 отображает M1 в точку M2, движение /з отображает M2 в точку M3. Тогда /' отображает M в M2, a f" отображает M1 в M3. Следовательно, движение / = /3 /' отобразит M в M3, и то же самое даст движение /* = /" Д. Значит, /* = /. Мы доказали, таким образом, равенство: /3 (/2 Z1) = (/3 /2) Д, которое выражает свойство сочетательности произведения движений. Итак, имеем теорему: произведение движений обладает свойством сочетательности.
Определив произведение трех движений, легко определить произведение четырех движений как движение:
/ = /4(/3/,/1) = /4/3/2/1-
Идя этим путем дальше, легко определить произведение любого числа движений. Основываясь на свойстве сочетательности, можно сделать вывод, что такое произведение не изменится, если сомножители заключить в скобки произвольным образом, не меняя их порядка. Например,
/5((/4/3)/21/^(/5/4)/3(/2/1)-
Множество движений мы назовем группой, если в него входят-.
