Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
— fibr " с, ab А br не -= Ъ, — (a b + с) — а.
Прп с = 0 имеем два решения л = ft = г = 0 и л = 1, ft =¦
— —2, с = 0. Прп с ф 0 получаем соотношения л = — —, с =» 2
^ — ft, b1 I- ft3 — 2ft2 42 = 0. Последнее уравнение перепишем в виде {b + 1) (ft3 — 2b + 2) =0. Прп b = —i имеем решение а =•.
= 1, b = — 1, с = —1. На(—оо, —)/"-т^|иногочлен ft3 — 2ft 4-2
4 . ^Т" I т/Т" i f~T
возрастает от — оо до2-| — у —, на — у —, у -g—
4 ./*7" 1 Л~Г
убывает то 2 — -у — > Он прп ft > | -g-возрастает. Поэтому
оп имеет единственный кореш-ft,, <—j -s-, Ьи ?= —li
ftu =5E—2. так чго рассматриваемая система уравпепип имеет еще одно решение (<fo, ftu. с»), и число многочленов х3-\-ах'1 Аг bx-\-с требуемого вида равно А.
485. Пусть точки .4, В. С, D делят окружность па 4 равпые части. Тогца, если отображение <( с указанным свойством существует, то
р(ф(Л), ч(fi)) = Х(Л, Б) = я/2, р(с(Д), ф(С)) = я/2, р(ф(Л), q>(C)) =A(.4, С) - л,
и ff(fi)—середшта отрезка [ф(Л), ф(01- С другой стороны, р(ц(А), Т(^))= (»('[ (f). ф(С))=я/2. так что р(Е>)—середина того же отрезка и ф(0) = ff (fi), что невозможно в силу р(ф(#), ч ф)) = = >.(Й, i») = я.
486. Легко убедиться, что если линия, которую оппсывает центр окружности, — ветвь гиперболы, то х = 1, у *= 1 — ее асим-
с
птоты, и уравнение гиперболы имеет вид у — 1 = _^, так что
(х — 1) (j/ — 1) s const. С другой стороны, песложпые геометрические рассмотрения показывают, что центр единичной окруж-
1
X
9
1 *0
ордипаты I х„ 4-' , ,' ; у0 4- л-„." ). Прп Jo = і/0 = і эти v V*0-M V*J + l)
координаты суть^і 4- 1 4- -p^j -= yi), (xi — 1) (j/i — 1) =
/ 11 4 \
кг. 1/2. При x0 = 2. i/o= 1/2 они равны (х,; j/,) = 12 4- р-=;-у4-р"== J! 7 9 1
(дгх—1) (j/t— 1)—^ —— gj- ^ —. Поэтому линия, описываемая
центром окружности, не является ветвью гиперболы.
487. Если ряд сходится в точке х, то cos пх —>- 0 при п —»• со,
і — cos 2/rx 1 т. е.-о--*¦ Т" upu л со, а, с другой стороны,
1 — cos 2лх
-ъ- = sin2 пх = 1 — cos* лх -*¦ 1.
Полому ряд нигде не сходится. т. Прп е > О
(1-Й/*
— f /(1)д</(*)<JL f иол,
имеем
Ilm _! г /(е)Л= lim j- \ f(t)dt— \ f(t) dt =
tt->+oo EX J e-»-l-oo ex J J
- lim [с (14-е) * (14- о(1))-№ (14-о(Ш= е.
в—+»
к
Аналогично lim _L l fit) dt" с, откуда и вытекает
К_»-}-оо EX J
(1-8)*
Ilm /(х) = с.
489. Для произвольного действительного х рассмотрим последовательность и„ (х) /(х 4- л) (в« 1, 2,...). Так как fix Ar Ъ)Ф fix) в конечном числе точек, то при л > Л'х эта последовательность стабилизируется: и„ (х) = с». Если сх Ф су при к Ф у, го при л > тах(Л'х, Л\) н h = у — х имеем f{h + (x-f-л)) = *** fiy -\- п) *=з cv ф сх -= fix Ar п) в бесконечном числе точек вида х 4- л, что противоречит условию. Поэтому Сх = cv = е. Обо-впачпм Е «= {х: /(х) с}. Если ? бесконечно, то выберем пз Е точки Х|, x^coooi и положим h => л > П1ах(,Ут i А, \; имеем при 1 < ( sg 1000001 с «» /(xi 4- h) Ф Цх<), что невоз-^loжнo по условию. Следовательно, ? конечно, ? ¦= {xi, ...,г,}.
ности, касающейся гиперболы у = — в точке (х0; f/o), имеет ко-
140
141
Выберем Л так, чтобы для каждого I = 1, ..., в х,- ± к не входило в Е; тогда с = /(*, — к) Ф н с = + /г) =й ЦхЛ, откуда 2* < 1 ООО ООО и1< 500 ООО.
400. Имеем д, =*) < а. Если д„_, < о, то д. <-¦—= а. По-
й Рв-1
этому для всех к дк < а. Пусть 0 < е < а. Определим последовательность гк: г а = 0 при а — дк < е, иначе гц = а — дА. Имеем ,
<*(«-?п-,)
а — с. = -
Пусть ——^ а — при А ^ А-0. Тогда |а — дк\ < |а — gft-,|. при ' h
[а— ga_i| ^ е/2 н |« —?й|<—^^Г ~Т < 2 ~Г = 8 прп
|а — Oft-i] < е/2. Поэтому при к ^ к0 последовательность {г„} моноюнно не возрастает, н существует г = lim гк. Пусть г ф 0.
к-уос
Тогда, начиная с некоторого к{, г* = а — дь, и существует
а
lim qh= д, удовлетворяющей уравнению 9= I-,
ft—oo 1 -L. (а _ ?) —-
т. е. д = а либо д = о ^ а. Отсюда видно, что д — а. п г = 0 — противоречие. Поэтому г = 0, и прп достаточно больших А-гА < е, т. е. |а — gft| < е, что и доказывает равенство lim q = а.
/i-*oc fi
491. Обозначим p(6j) = у,. По формуле Лагранжа п+1 И —
Коэффициент прп х" равен 1, т. е.
Пусть bi<... <&„+,, тогда |6у —6,| ^ |/ —г|, ибо 6, —целые.
ЕслнД/= тах |в{|, то KXn+i 1 11
К л/ у_\_= лу У ^к^КУс' =А,2П.
откуда nI/2" s? М, 142
492. Имеем
/(в, /(и, ш)и — Ци, и)и}) =0 = /(/(и, в;)в —/(в, в)в>, и),
т е /(в, в>)/(в, и) = /(и, в)/{в;, и); при ю = и находим /(и, и)/(в, и) =/(в, в)/(м, и); если /(в, и) =И= 0, то /(и, г) = =/(в, в). Пусть /(в, в) ф 0 п в, в; — любые. Обозначим а =
- 17,!,{и,\ и в = — (/(". ^) + а/(«. "О). Т0ГДа в силУ били_ / (в, в^
нейности
/(в + ав, в> + Вв) == /(в, ш) + а/(в, и>) + В/(в, в) + аВ/(в, в) = 0,
так что
0 = /(в> + Вв, в + аи) = /(в>, в) + а/(в, в>) + В/(в, в) + аЗ/(в, в),
откуда /(в, в;) = /(в>, в).
493. Указание. Рассмотреть функцию
/(*)= Ц V"'
где с0 = 1, п воспользоваться соотношением f(x) (ех — 1) =
