Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
sin (0?/)
301 По формуле Тейлора sin у = у — —5— у2, где 0 < 0 < 1.
1.11 sin(0/x) В частности, для у = — имеем am—=—- —-^-^-.
1С8
103
-g" si" ~-Еслл x— решение данного уравнения, го
; — -5- sin — = 2х — 1S77, т.е. i = 1977—-5-sin—,
1 ,11
откуда х>1976,т. e.e/x<jgygH 1 = 1G77 + е, где|е| <-у- sin 7^ <
1
< 2,|Qyg< 0,001, так что х — 1977 с требуемой точностью. / , 1 у
303. Так как у = 11 4 — I мопо гонно возрастает при х > 0,
то е >
Г \ \100U
>2, откуда 3 < 6(1 — 1,001-,000)< 4.
305. Функция у — х — In (1 4 х) при х — 0 обращается в 0, 1
причем у'= 1—j _|_ g> 0 при х > 0. Поэтому i/(x) мопотоппо возрастает при х > 0 и t/ (х) > 0, что эквивалентно перавенству х > > 1п(1 + х).
307. Рассмотрим функцию j(x) = ех — 1—1п(1 + х). Имеем / (0) = 0, так что достаточно доказать, что /' (х) > 0 при х > 0.
Но /' (х) = ех — ^ _^ х, т. е. /'(х) >0 тогда п только тогда, когда
g(x) = (1 + x)f'(x) = е* + хех — 1 > 0 (при х > 0). Имеем, далее, g(0) = 0 и снова рассматриваем в'(х) = 2е* + хе*, что положительно при х > 0, так что g(x) > 0 вместе с /(х) > 0. 309. Данное неравенство равносильно неравенству
т
< — <е
т—п п
Но при х > О
е* > 1 + х, так что
т—п
> 1 +
т — п
т
Второе неравенство, обозначив = х < 1, перепишем в впде е1-* — пли хе1-* < 1 (0 < х < 1). Функция /(х) = хе'-* при
x '
х = 1 равна 1, /'(х) = (1 — х)е1-*> 0 при х < 1, так чго /(х)< 1 при х < 1, что и требовалось.
311. Подставив д = 1 — р, получим эквивалептпое перавенство
разделив па е*2, имеем
gjXx,-*,) ^ 1 -L 7 (e*.-*f _ i)f
или, обозначив xi — х2 = у,
e'J" + р — 1 — ре* - ф((/) ^ 0.
Имеем ф(0) = 0, if'(у) = pe*v-.pev п при у > 0 'ф'(ц) < 0, пли I/ < 0 ф'(^) 0, гак что у = 0 — точка максимума н прп каждом у 4>(у) ^ 0, что и требовалось.
/ 1 \«т-ф(") 1
313. Из условия! 1 4 —I =еполучаемф(п)=—1-гт^
V I . ь(1 + -)
1
— п. Имеем ф' (х) =--,-рг — 1; нетрудно проверить,
(*» + х)1п«П + —J
а
что In (1 4- а) < г прп а > 0, так что знаменатель в выра-
) a f 1
гкенпи для ф' (х) меньше 1 при х > 0 и ф'(х) > 0. Поэтому а — наименьшее значение ф(х) — достигается при х = 1 и разно
1,1
тгг7 — 1; Р = lim ф(л) = -g-.
315. Достаточно доказать, что sin3 х (cos x)~l ^ х3 при 0 < х < < л/2. При х = 0 имеет место равенство, так что достаточно доказать, что (sin3 х cos-1 х)' ^= Зх2. Но (sin3 х cos-1 х)'= = 2 sin2 х + (cos х)-2— 1, и при х = 0 ейова имеем равенство. Дифференцируя далее аналогичным образом до тех пор, пока в правой части неравештра не возникнет 0, получпм неравенство
|— 8 sin 2х — 8 sin х cos-3 х 4- 24 sin х cos-5 х ^ 0.
Сокращая на sin х, получим 24 cos-5 х — 8 cos-3 х — 16 cos х ^ 0, что очевидно, верно, ибо cos-5 х > cos-3 х > cos х в рассматриваемом промежутке.
и и и
317. Обозначим / = |е-*г/2ах, тогда 4/2= J ^e-ix>+VV2dx dy%
0 —w—и
Переходя к полярным координатам и интегрируя сначала по кругу радиуса и, расположенному внутри квадрата — ыг^хг^ц, — u ^ ^ у ^ и, а затем но кругу радиуса и\2, содержащему впутрп себя этот квадрат, получил
н uYi
2л j е-"'2г dr < КЛ < 2л j e-r'/2r dr, о о
откуда п вытекает требуемое неравенство.
319. Ответ. Наибольшее значение равно 1, наименьшее значение равно 0.
а —1 1 ха 321. Обозначим <р (у) =—— у 4 а g_i; тогда ф (у) =
а ^1 — {^~~у~) )' Заметим, что ПРИ а = 1 ф(у)= х. Пусть
а < 1. Тогда прп у < х ф'(^) > 0; при у = х ф'(^) = 0 и при у>х ф'(1/)<0. Поэюму 1/ = х — точка максимума для ф(и) и, так как ф(х)= х, неравенство х eg 4(1/) при у ф х нарушается. Пусть тсиерь а>1. Тшда ир.и у < х ф'(г/) < 0; при у > х
ill
ПО
ф'({/)">0, и у — х — точка, минимума для <р(у), т. е. неравенство х ^ Ч (у) выполнено для всех х, у > 0. Таким образом, искоздк множество значений а есть [1, + °°).
ь
323. Пусть N > 10 000(6 - а). Имеем |ф? (х)+ ... +ц>% (х) <1х=
а
«= /V, так что но теореме о среднем для некоторого х е= (а, Ь)
ф?(*) +
тогда
rf) (х)
]Ap'f(*) + ... + ф2,(*)'
причем
.V
N і=1 Ф?(т)
1,
? }^Ф,1х)+ ... +фд (*) т ' а — о
юиоо= too.
325. После двойного логарифмирования веравепство приводится к виду In In а + a In b > In lu b + b In а или, если обозначить In а
яс = г^-у > 1. у = 1и Ь > 0, к виду In х > i/'xe" — е1"). Пусть
Ф^і у) = хе" — ех", тогда ф,', (а:. .1/) = л1 — хеху < 0. так что ф(я, [/)< ф(х, 0) = х — 1 Если ф(х, у) <^ 0, то In х>уц (х, у). Пусть ф(х, у) >0. Тоїда ф(г, {,) = е»(х — е^-Чв) >о и (х - 1)у < In г, т. е. снопа In х > (і — 1)# > j/ф(х, у).
327. Обозначим п(шосІ2п) іакое число іє [—л, л), что п =j г= 2лА- + * для целою А 5* 0. Пусть также
Д,=^нгсві "^"у" — е j. ^rcsiii ^— + p^j.
Очевидно, достаточно убедиться в существовании такого натурального п, что и (mod 2л) є Д.. Пусть 6 —длина отрезка Д„ и нату-2я
ральпое м> -g--t- 1. Точки 1 (mod 2л)..... m (niorl 2л) лежат па
промежутке [—л, л), так что найдутся I, /(1 < і < / s? /л) такие,
2л
что | / (mod 2л) — і (mod 2л) | < m _ t < б, или, обозначив г ==j
трудно теперь выбрать в виде кратного г. 329. Ответ.
