Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
33. (МЭИС, 1976 г.) Доказать, что если все корни многочлена p(z) = a,jz" + ... +»„ лежат в верхней полуплоскости, то и все корни его производной находятся в верхней полуплоскости.
34. (МИРЭА, 1976 г.) Пусть p{z) — многочлен. Доказать, что корни многочлена p'(z) лежат в выпуклом многоугольнике, натянутом на корни многочлена р[г).
35. (МФТИ, 1977 г.) Доказать, что многочлен
V (2-1' — *i)k — 2*h п t-1
2d -i- делится ua
36. (ЛЬ')СИ, 1977 г.) Доказать, что если при х-+оо функция ф(.г) ->¦ со. а ее производная <р'(х) ->-0, то ц(х) не представима в виде отношения двух многочленов.
37. (Мех.-мат., 1977 г.) р(х) = с„.г" + - • • + с0 — многочлен с действительными коэффициентами, причем Ср — U (i ^ р ^ п — 1) и с, ф 0 при / ф р. Доказать, что если р(х) имеет п различных действительных корней, то c„-i ¦ сР 1 < 0.
38. Доказать, что если последовательность многочленов степени не выше и равномерно сходится на иптерва-ле (д, Ь), то предел—многочлен степени не выше п.
39. (Мех.-мат., 1975 г.) Пусть f(x) — произвольный . многочлен с комплексными коэффициентами. Доказать,
что существует такая постоянная с, .что для любого мно-
10
гочлена р (х) с целыми коэффициентами число различных целых корней многочлена j{p{x)) не превосходит deg/> + с, где ucgp — степень многочлена р(х).
Последовательности н пределы
40. (МВТУ, 1977 г.) Найти х, если
lim
,1975
1
п-.ос П* - (л — 1)-т 1976"
41. (МЭИС, 1977 г.) Дано Sl = ] X Sn+l = \'2+S~n. Доказать, что последовательность {Sn} имеет предел, и найти этот предел.
42. (МФИ, 1976 г.) Вычислить пределы:
1) lim (cos у cos-| ... cos —);
2) lim sin2 (л 1 rn% + n).
n-+oo
43. (МИНХ, 1975 г.) Доказать, что последовательность 2, 2 -f- у, 2 -f- 1 ^ , ... пмсет предел, и найти этот предел.
4т. (МИНХ, 1977 г.) Доказать, что последовательность fli = 0, ап =---имеет предел, и найти этот предел.
45. (МАТИ, 1977 г.) Рассмотрим отрезок АВ. Последовательность точек {М„} строится следующим образом: Mi — А, Мп — В, каждая точка 71/п+1 является серединой отрезка, соединяющего точки Af„_i и М„. К какой точке отрезка А В стремится последовательность {71/„}?
46. (МИНХ, 1976 г.). На гиперболе ху — 1 взяты точки Ап п Вп с абсциссами —^-г- и 1 (п= i, 2, 3, ...)
п -f- 1 п х '
Обозначим Мп центр окружности, проходящей через точки Л„, Вп н вершину тперболы. Найти предел {Л/,,} при п —> со.
47. (МАДИ, 1976 г.) На йти предел
11
48. (МФТИ, 1977 r.J Найти предел последовательности
к
21 у
49. (УДН, 1676 г.) Существует ли lim sin я, где п —
П-»оо
патуральное число?
50. (МТИЛП, 1977 г.) Найти предел
lim
П-»-оо
if. п . . 2л . - . , (п— 1) я\
— I ein--f- ein—- -f- ... 4- em-- .
, n l П ' Ii n ]
51. (МИСиС, 1O76 г.) Вычислить
«->во
52. (МИНХ. 1976 г.) Функция }{х) непрерывна п положительна на отрезке [0, 1]. Доказать, что
53. (МАИ, 1977 г.) При каких действительных а и Ъ сходится последовательность: х0 — а, 3-1=1-1- Ьх0, ... ..., .г„+| = 1 + Ьх„, ...?
54. (МОПИ, 1976 г.) Показать, что множество
(1 л 1
—± •>п+\ | (иеЛ) имеет своими предельными точками только 0 и 1.
55. (Мех.-мат., 1975 г.У Последовательность' {.г,,} (п— 1,2,...) определяется следующим образом: х\ = х —
некоторая точка отрезка [0,1]; если п ^ 2, тохп = у.Гл-1
1 -'- у г
при четном и и я„=-^-прп нечетном п. Сколько
предельных точек может быть у этой последовательности?
56. Является ли точка х = 0 предельной точкой последовательности Хп~] н8шм?
57.. (МИЭТ, 1975 г.) Вычислить
/28—1 S3 — 1 цЗ _ 1 \
Ii
58. Последовательность {хп} такова, что х\ > 0,
= ~г[^п ~)при п ^ 1. Доказать, что существует т хп, и найти этот предел.
59. (МОИ, 1975 г.) Числовая последовательность Бадана соотношением щ = Ъ, н„+1 = 1/^-г-(1 — 2а) ип + а2 (п^ \). При каких значениях а и Ь последовательность {и„} сходится? Чему равен предел?
60. (МИЭИ, 1975 г.) Последовательность {#„} задана соотношениями Хо = 1/3, хп = 0,5а.п_1 — 1 Найти Нт хп.
61. (МВТУ, 1975 г.) Доказать, что предел последовательности
хй > 0, *п+1 = " * > (а > 0)
охп -\- а
существует, п найти его.
62. (МПСиС, 1977 г.)' Пусть
(а>0, х„>д).
а) Доказать, что последовательпость {хк} имеет предел, и вычислить его.
б) Обозначим гА разпость между Хь и пределом последовательности п предположим, что ъ\ =И= 0. Доказать, что при всех А ^2= 1 будут выполняться неравенства:
Ч u> 0i z/i+i <С "з zk>
/ 1
i а
63. (МЭИ, 1977 г.) Пусть а{ = 1, ак = А-(я*-Г+ 1)" Вычислить lim П (l-f- —).
n-.ooft=lV ahJ
64. Найти бесконечное произведение
17 lo
2»" + 1 22"
65. (МАП, 1976 г.) Пусть {.г„} — последовательпость такая, что х0 = 25, хп = arctg #„-1. Доказать, что опа имеет предел, п найти этот предел.
66. (MATH, 1976 г.) Пусть х\, х2, ...— все положительные корни уравнения tg х = х, расположенные в порядке возрастания, Чему равен lim (xn—xn-i)'t
13
67. (МИСиС, 1975 г.) Найти предел последовательности: Di — х, 7/n+i = asin уп («3* 1), где |я| *?-л/2 и х — действительное.
68. (МФТР1, 1975 г.) Доказать, что уравнение х = cos х имеет единственный корень #о и что последовательность {хп} такая, что Xi ~ 20, хп = cosa^-i (п > 2) сходится к Хо.
