Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
364. (Мех.-мат., 1977 г.) Пусть яо, ..., — целые.
числа. Доказать, что с1е(|я,'| (0 к, ? < н— 1) делится »—1
па П *1. -
365. (Мех.-мат., 1977 г.) Ап = 044(11 (г,/) Н^и*»), где (/,/) — наибольший общий делитель г ц /'. Найти Ап.
Системы уравнений, грлплы, поля, линейные пространства
366. (МВТУ, 1977 г.) Исследовать совместимость и найти решение системы уравнений:
' (3 — 21) хх + (2 — К) х2 + х3 = Я,
. (2-Я.)-*! +(2-Л) + 1, хг + х2 + {2-1)х3= I.
367. (МИЭМ, 1976 г.) Доказать, что система уравнений
-Х1 = ЯдЛ -г ... + я1п.т„,
— Хп — (in\X\ -\- . . . -\- annxni
где ац — целые числа для всех имеет единственное решение Х\ = Xi = ... — хп — 0.
368. (МОПИ, 1976 г.) Известно, что для элементов Hi, пг, V\, V2 группы G выполняются равенства: UiV\ =
— Villi = U2V2 = V-2ll2, l,T\' = u2 = иТ = »1 = ei где
Pi, P2 — взаимно простые натуральные числа. Доказать,
ЧТО U] == »2, ^1 = 1^2-
369. (МИСнС, 1977 г.) Векторное пространство А называется алгеброй, если в нем помимо сложения векторов и умножения нх на скаляры определено еще умноже-
4 ]3, А, Садовничий. А, С. Подколзин 49
Ниє векторов со свойствами: а {Ь с)=(а Ь) с, а (Ь рс)~ = іиЬ ас, ф с) а — Ь и + с~а, (асі) ^ =»= (ю (Щ — «=А(«о6), где я, Ь. с є Л, л-<= Я. Делители нуля —такие векторы а=т^», 6=5^0, что ясЬ =о. Доказать, что в конечномерной алгебре без делителей нуля каждое из уравнений аах- Ь п х~а=Ь, где ифо, имеет и при том только одно решение.
370. Функции /|(а) и определены на интервале (а, Ь) и действительны, причем для любых постоянных Сі її с2 функция сі/і (х) + Сї/г(л") не меняет знак на (а, />). Доказать, что /і и /2 линейно зависимы.
371. (МИЭМ, 11)70 г.) Пусть ^(х), ]п(х) — действительные функции на отрезке [а, Ь], линейно независимые над нолем действительных чисел. Доказать, что существует множество точек Я|, а„ на [а, Ь], для которых <ІеІ(||/,(я,)[|) ФО.
372. (УДИ. 1070 г.) Доказать, что если размерность суммы двух линейных подпространств пространства Я" на единицу больше размерности их пересечения, то сумма йовпадает с одним из них, а пересечение — с другим.
373. (Мех.-мат., І97Т) г.). Доказать, что если характеристика ноля положительна, то любой гомоморфизм адіитивной группы ноля в мультипликативную переводит все элементы ноля в единицу.
374. (Мех.-мат., 1976 г.) Пусть / — конечномерное векторное пространство п /, її, ..., 1к — линейные функ-
к к
ционалы на /, причем кег / э П кег/4. Тогда ' = 2] сігі-
375. (Мех.-мат., 1976 г.) Пусть Я — ассоциативное кольцо. Известно, что если х" = 0 для некоторого ЇЄЙ и натурального и, то ж = 0. Доказать, что если хі.. .хп =»-— 0, то и Хо(1).. .х^Л) = 0 для любой подстановки о.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ II КОМБИНАТОРИКА
376. (МИИГАиК, 1975 г.) Найти lim где v(ra) —
число простых множителей натурального числа п.
377. (МТехнИ, 1975 г.) Используя формулу Тейлора, доказать иррациональность числа е.
378. (МАДЙ, 1977 г.) Целыми точками пространства называются точки с целочисленными координатами х, у, z.
5U
!Сколько пельтх точек лежит на плоскости х 4- у 4- 2 = п а) в замкнутом положительном октанте (х 5» 0, 7/5=0 г^0)? б) в открытом октанте (х > 0, у >> 0, г > 0)
379. (Мех.-мат., 1976 г.) Плоская фигура С называет ся строго выпуклой, если для любых ее точек а. Ь ВС точки интервала (а, Ь) являются внутренними для С Через ссб обозначим фигуру, получаемую из С путем го мотетни в а раз с центром в начале координат. Доказать, что существует замкнутая, ограниченная, строго выпуклая фигура С, для которой существуют сколь угодно большие а такие, что на границе аС имеется по крайней мере (Тсс) точек с целочисленными координатами.
380. (МГПИ, 1976 г.) Доказать, что при любом целом к > 0 уравнение а2 + Ъ2 = с* имеет решение в целых положительных числах.
381. (МГПИ, 1975 г.) Доказать, что для любого нату ралмтого п справедливо неравенство н2/2 < ф(к)о(н) < < и2, где ц{п) — число натуральных чисел, меньших н взаимно простых с п (функции Эйлера), а а(п) —сумма натуральных делителей числа п.
382. (МЭИС, 1977 г.) Доказать, что? 2 + уЗ_ число иррациональное.
383. (УДИ. 1976 г.) Пусть и> 2- целое число. До-VII
казать. что 7^ —=—, где суммирование проводится по
всем целым ц п р взаимно простым п таким, что 0 < р < ¦< Я ^ Р + 7 > п.
384. (МГПИ, 1977 г.) Доказать, что у числа
не может быть 365 различных делителей.
385. (Мех.-мат., 1977 г.) Доказать, что любое целое число можно представить в виде суммы пяти кубов целых чисел.
386. (МИИГАиК. 1977 г.) Какое минимальное количество умножений необходимо для получения произведения а;197ьг Предполагается возможным запоминание любого количества промежуточных результатов.
387. 10 студентов решили образовать из своего состава спортивные команды со следующими условиями: 1) каждый может записаться в любое число команд; 2) ни одна команда не должна целиком содержаться в другой ii.ui совпадать с пей (частичной совпадение возможно). Каково при этих условиях максимально возможное число команд и но скольку человек они содержат.
4*
388. (ВМГС МГУ, 197С г.) Пусть 5„ - множество всех подстановок натуральных чисел {1, «}. Определим
