Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(7) \(\+\у\Г\Р (y)Ydmn(y)< оо.
R"
Если У обозначает интеграл в (7), а On есть (п—1)-мерный объем единичной сферы пространства R", то неравенство Шварца дает
і \ V+\y\Y\F (y)\dmn(ij)^J \(\-T-\y\Yp-irdmn(y) = Ir" j R"
oo
= Jan J (1 + typ~'ir Іп~гdt <oo, о
поскольку 2/7 — 2r-\-n — 1< — 1. Тем самым мы доказали, что
(8) \і\ + \У\)р\?т<Ьпп(у)<оо.
R"
Положим
(9) Fv(X) = \ F (у) е<*-У dm„ (у) (х ? R").
R"
216 часть 2. распределения и преобразование фурье
Согласно утверждению (с) теоремы обращения 7.7, имеем Fa = F п. в. на R". Кроме того, из условия (8) вытекает, что функции
уа F(у) принадлежат L1, если |а|^/?. Теперь, повторяя доказательство утверждения (с) теоремы 7.4, мы заключаем, что
(Ю) Fffl€C*>(RB).
Но наша функция f совпадает с F в со. Поэтому f — Fa п. в.
в о).
Если о'—другое множество типа со, то предыдущее рассуждение доказывает существование такой функции Fa' Є (R"), которая совпадает с / п. в. в со'. Поэтому F^=Fa в о'Л со. Следовательно, искомую функцию /0 можно корректно определить в Q, если в со положить ее равной F10. H
Упражнения
1. Пусть А —обратимый линейный оператор в R", /?/-1 (R") ug (х) = f(Ax).
Выразить явно g через /. Тем самым будет получено обобщение утверждения (d) теоремы 7.2.
2. Не порождается ли топология пространства ^fn некоторой инвариантной метрикой, относительно которой преобразование Фурье осуществляет изометрию пространства <ffn на себя?
3. Рассмотрим на вещественной оси функции f(x) = ex и g (х) =ех cos (ех). Показать, что g является медленно растущим распределением, тогда как / не является.
4. Согласно упр. 3, существуют распределения, которые не являются медленно растущими Каждое такое распределение является непрерывным линейным функционалом на (R"), не имеющим непрерывного линейного расширения на п. Объяснить, почему это не противоречит теореме Хана-Банаха.
5. (а) Построить последовательность в jg7> (R"), которая сходится к 0 в топологии ofn и не сходится в топологии ig) (R").
(Ь) Построить последовательность полиномов, которая сходится в топологии <2>' (R), но не сходится в топологии '.
6. Доказать что операции, перечисленные в теореме 7.13, суть непрерывные отображения пространства Jfn в себя.
7. Пусть u?of'n. Доказать, чго
(TxU) ~ =е-хи и (ехи) ~ — ххи
для каждого x?R".
8. Пусть /CL1 (R"), /?=0, Я—комплексное число и f=V- Что можно сказать относительно К?
9. Доказать утверждение (а) теоремы 7.8 непосредственно (не привлекая преобразований Фурье).
ГЛ. 7. преобразование фурье
21?
10. Преобразование Фурье комплексной борелевской меры ц на R"-обычно определяется как функция ft, задаваемая равенством
J dMO (*€Rn)«
Конечно, ц является медленно растущим распределением, и в таком качестве его преобразование Фурье определено в п. 7.14. Доказать, что эти два определения совпадают. Доказать, что функция р, ограничена и равномерно-непрерывна.
11. Пусть Л: ^„-»C(R")—непрерывное линейное отображение и XxA = Atx при каждом x?R". Существует ли такое распределение и ? <ff что
Л (ф) = «*ф
для всех ф^С^п?
12. Если -{Лу}—аппроксимативная единица в смысле определения 6.31 и и?.&"п* то верно ли, что u*hj->u при /-*оо в слабой* топологии пространства (5Pn?
13. Пусть X и Y—полные метрические пространства, множество Л плотно-в X и /: A ->Y — равномерно непрерывное отображение.
(a) Доказать, что / обладает единственным непрерывным продолжением F: X -+Y.
(b) Если f — изометрия, то это верно и в отношении F. Доказать также, что F (X) замкнуто в Y.
[Это использовалось в доказательстве теоремы Планшереля; см. также упр. 19 в гл. 1.]
14. Пусть F—целая функция в Сп, и пусть каждому е > 0 отвечают такое целое N (є) и такое у (є) < оо, что
IF (г) К у (є) (1 -1-1 z |)^<Е> p4im z| (z Є С"). Доказать, что F—полином.
15. Пусть / — целая функция в Сп, N — положительное целое число,, г 0 и
I / (*) К (1 + I z I)^VlIm «І для всех Z ?С'\ I / (х) I <; 1 для всех X G
Доказать, что тогда
I /(Z)K^l1™ 2I для всех z^C". Наводящее соображение. Фиксируем z = x-^iy?Cn. При^^С и s> 0 положим
gs (Я,) = (1— isl)-N -l#r\y\kf (х+ Iy).
Примените к большому полукругу в верхней полуплоскости принцип максимума модуля, в результате чего должно получиться неравенство |gs(0l<l» Положите s -* 0.
16. В пункте (Ь) теоремы 7.23 не утверждается, что распределение и имеет порядок N. Следующий пример показывает, что, вообще говоря, это и неверно.
Пусть — вероятностная борелевская мера на R3, сосредоточенная па единичной сфере S2 и инвариантная относительно всех вращений сферы S2» Показать (используя сферические координаты), что
- . . sin I л: I . _ _ „.
218
часть 2. распределения и преобразование фурье
Положим U = D1[K. Тогда
Iu(X)I = U1Hx)Kl (xGR3). Из упр. 15 вывести, что
|и(е_г)|<Те,1тг| {z?C*)t
.хотя и и не является распределением порядка 0. [Его порядок равен I1J Найти явную формулу для целой функции u(e„z), г?С3.
17. Пусть и — распределение в R" с компактным носителем К, преобразование Фурье которого и является ограниченной на Rn функцией.
