Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
U=C1A1V1+ ... +CnAnVn,
где C4-^O1 2^1 = 1* Л/^ G1 v1^V1. Если A^G1 то вектор
Aw = C1AA1C1 + ... + CnAAnVn
I
гл. 5. некоторые приложения
145
также принадлежит U, поскольку ЛЛ.-?С. Следовательно, A(LZ)c=C/1).
Допустим теперь, что множество H ?Q содержит по крайней мере две точки. Тогда H — НФ{0\, и потому некоторое из построенных выше множеств U не покрывает H— H целиком. Так как множество H — H компактно, то H — H er sU для некоторого s > 0; пусть t—точная нижняя грань всех таких чисел s; тогда t^l. Положим W = (U. Тогда W — такое выпуклое уравновешенное открытое множество, что
(1) A(W)cW для каждого Л G О,
(2) H-H cz (1 +/•) W, если г > 0,
(3) (1 — г) W не покрывает H — Н, если 0<г< 1. Свойства (1) и (2) очевидны. Так как W выпукло, то
(\-r)Wcz (\-r)W +^rW=(\-^)W:.
последнее множество не покрывает H — Я; поэтому выполняется (3).
Поскольку множество H компактно, в нем найдутся такие
точки а',.....Xn, что
(4) H cz Д +yw) ¦
Положим г = \/(4п) и рассмотрим множество
(5) НЛ = Н{\ n (y+(l-r)W)
Ясно, что оно компактно и выпукло. Чтобы доказать, что множество Hx непусто, мы покажем, что оно содержит точку
Так как H выпукло, то X0GH. Фиксируем уGH. В силу (4) найдется такой номер /, что
(7) у GXj+^W.
Если іф\, то из свойства (2) следует, что
(8) yeXi-\-(l + r)W.
Складывая соотношение (7) с суммой по всем іф\ соотношений (8), деля результат на п и учитывая при этом, что W выпукло
х) Нужно еще проверить, что множество U открыто; это легко сделать, ¦если учесть, что каждое отображение A G G является гомеоморфизмом пространства X. — Прим. перев.
146
часть 1. общая теория
и уравновешено, а г = \/4п, получаем
|+(/г-1) (1 +г)] W er (1-г) W.
Таким образом, x0?y-\-(l — r)W для любого г/(E Я. Следовательно, X0^H1.
Пусть X^H1 и у?Н, a A(EG. Так как Л-1 (Я) с= Я, то Ij = Ay1 для некоторого € Я. При этом Jr?i/t + (l— r) W1 поскольку X^H1. Поэтому из (1) следует, что
AxЄ Ay1 + (1 - г)Л(W) с: у-]-(I-г) W,
а так как A(H) с Я, то Лл-?Я. Таким образом, Ax (z H1, так что A (/Z1) cz Я, для всякого А Є G.
Наконец, согласно (3), существуют такие точки х? H и /у ? Я,
что x—г/ не принадлежит (1—r)W. Но тогда X^H1, так что Я^Я. ¦
Мера Хаара на компактных группах
5.12. Определения. Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, относительно которой групповые операции в G непрерывны. Наиболее экономный способ расшифровки этого условия состоит в постулировании непрерывности отображения cp: GxG—>G, определенного равенством
4>(х, Ij) = XiJ'1.
Из этого условия следует, что для каждого а? G отображения х—>ах и X—*ха являются гомеоморфизмами группы G на себя; то же верно и для отображения х—^л:-1. Поэтому топология в G полностью определяется любой своей локальной базой в единице е группы G.
Если потребовать (что мы и сделаем, начиная с этого места), чтобы каждая точка в G была замкнутым множеством, то справедливы теоремы, аналогичные теоремам 1.10, 1.11 и 1.12 (формулировки и доказательства, с точностью до изменения обозначений, остаются теми же самыми), в частности выполняется аксиома отделимости Хаусдорфа.
Если /—любая функция, определенная на G, то ее левый сдвиг LJ и правый сдвиг RJ для всякого s? G определяются формулами (Lsf) (X) = I (SX), (RJ) (X) ¦= / (XS) (X Є G).
Комплексная функция / на G называется равномерно непрерывной, если для всякого є > 0 в G найдется такая окрестность единицы V, что
I/(0-/(s)|<b
для всех t?G и s^G, удовлетворяющих условию s-1^V.
гл. 5. некоторые приложения 147
Топологическая группа G, топология которой компактна, называется компактной группой; в этом случае через C(G) обозначается, как обычно, банахово пространство всех комплексных непрерывных функций на G с sup-нормой.
5.13. Теорема. Пусть G—компактная группа, /?С (G), а HL (f)—выпуклая оболочка множества всех левых сдвигов функции f. Тогда
(a) функция f равномерно непрерывна,
(b) HL(f) является вполне ограниченным подмножеством пространства C(G).
Другими словами, замыкание множества HL(f) в C(G) компактно (приложение A4).
Доказательство. Фиксируем є > 0. Так как функция f непрерывна, то для каждого а G G существует такая окрестность единицы Wa, что |/(/)—/(о)|<едля всех t GoW0- Из непрерывности групповых операций следует существование такой окрестности единицы V а, что VaVal er Wa. Так как группа G компактна, го найдется такое конечное множество AdG, что
G= U aVa.
as а
Положим
V= Л Va.
as а
Допустим, что x~xy?V. Выберем точку а ? А так, чтобы y?aVa. Тогда | / (у) — f (а) |< е. Кроме того, \f (x) — f (а)\<г, поскольку
X?yV-i cz aVaya-iczaWa.
Следовательно, | / (х) — f (у) | < 2в, и утверждение (а) доказано. Так как (sx)'1 (sy) = х~ху для всякого s?G, то I (LJ) (X) - (LJ) (у) \ = \f (SX) - / (sy) |< 2е,
если х~гу^. Каждая функция g?HL(f) представила в виде конечной суммы ^csLJ, где cs^0 и Следовательно.
\g(x)-g(y)\<2z,
если х~х у Є V и g?HL(f). Это означает, что Н,([) является равностепенно непрерывным подмножеством пространства С (G). Поэтому справедливость утверждения (Ь) следует из теоремы Асколи (приложение А5). Щ
