Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(2) ? <а*.
Далее, возьмем в качестве Y пространство X* со слабой* топологией, и пусть Mn = M(S*). По теореме 4.14 подпространство M (S*) слабо* замкнуто. Так как пространство 2 состоит теперь из всех слабо* непрерывных линейных функционалов на X*, аннулирующих подпространство M (S*), то оно изоморфно подпространству (S*)= оДГ (S) пространства X (см. п. 3.14 и теорему 4.12); поэтому неравенство (1) принимает вид
(3) ?*<a.
Ближайшая наша цель состоит в доказательстве неравенства
(4) ct^?.
Заметим, что если это неравенство доказано, то справедливо также неравенство
(5) a*<?*,
поскольку оператор Т* компактен (теорема 4.19). Так как а < оо согласно утверждению (d) теоремы 4.18, то из неравенств (2) — (5) следует справедливость утверждения (а).
Допустим, что неравенство (4) неверно, т. с. что а > ?. Поскольку а < сю, из леммы 4.21 следует существование таких
гл. 4. двойственность b банаховых пространствах
125
замкнутых подпространств EnF пространства X1 что dimF = ? и
<6) X = O)V(S) (QE = Zl(S)(BF.
Каждый вектор x(i X допускает единственное представление в ви-іе X = X1 -f x.2t где X1 € (S), X2 € Е. Определим линейное отображение я: X—>cAf(S), полагая ях = х,. Легко убедиться (например, с помощью теоремы о замкнутом графике) в том, что отображение я непрерывно.
Так как мы предположили, что (UmGAT(S) > dim/7, то найдется такое линейное отображение ф пространства JV(S)Ha пространство F, что ф (X0) = 0 для некоторого X0=^O. Положим
(7) Фх == Tx + фях (х Є X).
Тогда Ф ^S(X). Так как dim .? (<рЖ °°і то оператор фя компактен; поэтому оператор Ф тоже компактен (теорема 4.18). Заметим, что
(8) Ф— M = S+ ул.
Так как Xn(EcAT(S), то ^x0 = X0, и потому фях0 = 0. Отсюда следует, что Ji — собственное значение оператора Ф (а X0 — отвечающий ему собственный вектор). Поэтому по теореме 4.24
{9) М(Ф — Х1)фХ.
Поскольку ях = 0 для всякого X 6 Е, соотношение (8) показывает, что
(10) (Ф—XI) (E) = S(E)=S(X) = 9i(S).
Если xGo)\T(S), то тех — х, так что, учитывая (8) и определение отображения ф, получаем
(U) (ф—XI) (сЛГ (S)) = ф (JV* (S)) = F.
Из (10) и (11) следует, что
(12) SA (Ф—XI) => 31 (S) -[-F = X,
а это противоречит (9). Таким образом, неравенство (4) справедливо, что завершает доказательство утверждения (а).
Утверждение (Ь) следует из (а). Действительно, если X не является собственным значением оператора Т, то а (Г)= 0 и из (а) следует, что $ (T) = O, т. е. SA(T—XI)=X; но тогда оператор T—XI биективен и потому обратим, так что X(J1O(T). Аналогично опровергается предположение, что X не является собственным значением оператора Т*.
Из утверждения (Ь) и теоремы 4.24 следует, что множество о (T) не более чем счетно и не может иметь предельных точек, отличных от 0, а множество о (T) U {0} компактно. Если dim X <оо, то множество о (T) конечно; если же dimX = oo, то 0 go (T) в силу утверждения (е) теоремы 4.18. Таким образом, в любом
126
часть 1. общая теория
случае множество о (T) компактно. Это показывает справедливость утверждения (с) и завершает доказательство теоремы. Щ
Упражнения
Во всех следующих ниже упражнениях буквы XwY обозначают банаховы пространства (если явно не оговорено противное).
1. Пусть <р—вложение X в X**, описанное о п. 4.5. Пусть т—слабая топология в X, а о—слабая* топология в X** (т. е. Х*-топология в X**).
(a) Доказать, что <р—гомеоморфизм пространства (X, т) на всюду плотное подпространство пространства (X**, о).
(b) Доказать, что образ <р(В) замкнутого единичного шара В пространства X является а-всюду плотным подмножеством замкнутого единичного шара пространства X**. [Воспользуйтесь теоремой Хана — Банаха 3.4.J
(c) С помощью (а), (Ь) и теоремы Банаха — Алаоглу доказать, что пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда шар В слабо компактен.
(d) Вывести из (с), что всякое сильно замкнутое подпространство рефлексивного пространства X рефлексивно.
(e) Доказать, что если Y — замкнутое подпространство рефлексивного пространства X, то факторпрострапство XjY рефлексивно.
(f) Доказать, что пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда рефлексивно пространство X*.
Наводящее соображение. То, что из рефлексивности X следует рефлексивность X*, можно доказать с помощью (с); для доказательства обратного утверждения примените (d) к подпространству <р (X) пространства Хш.
2. Какие из пространств с0, Iі, IP, /ю рефлексивны? Доказать, что любое конечномерное нормированное пространство рефлексивно. Доказать, что пространство С всех комплексных непрерывных функций на единичном отрезке с sup-нормой не рефлексивно.
3. Доказать, что подмножество Ecz& (X, Y) равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда существует такое M <оо, что ||Л||<;Ж для всех Л ? Е.
4. Напомним, что если поле скаляров есть С, то Х*~&(Х, С). Поэтому Л*?с$(С, X*) для любого Л?Х*. Найти образ оператора Л*.
5. Доказать, что оператор Т?&(Х, Y) тогда и только тогда является изометрией пространства X на пространство Y, когда Т* изомегрично отображает Y* на X*.
6. Пусть o и т — слабые* топологии в пространствах X* и Y* соответственно. Доказать, что S тогда и только тогда является непрерывным линейным отображением пространства (F*, т) в пространство (X*, о), когда S = T* для некоторого Т?<%(Х, Y).
