Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Если T = T*, то оператор T называется самосопряженным. Для оператора T ? 33 (H) условия симметричности и самосопряженности, очевидно, совпадают. В общем случае это уже не так.
13.4. Пример. Пусть H = L2 = L*([0, 1]) относительно меры Лебега. Мы определим в пространстве L2 три оператора T1, T2, T3. Их области определения таковы:
S) (T1) состоит из всех абсолютно непрерывных функций / на отрезке [О, 1J, для которых производная /' принадлежит L2;
S)(TJ = S)(T1)DIf: /(0) = /(1)}; S) (T3) = S) (T,) Г) {f: /(0) = /(1) = 0};
ясно, что псе эти подпространства всюду плотны в ZA Положим
(1) TJ = If при feS)(Tk), ?=1,2,3. Мы утверждаем, что
(2) П = Т3, Tl = T2, Tl = T1.
в себя утверждение, что области определения операторов T*S* и (ST)* совпадают.
Доказательство. Пусть х? S) (ST) и у ? S) (T*S*). Тогда
(3) (Tx, S*y) = (x, T*S*y), поскольку X Є S) (T) и S*y<t@>(T*), и
(4) (STx, у) - (Tx, S*y), ибо Tx Є & (S) и у ? S) (S*). Поэтому
(5) (STx, у) = (х, T*S*y),
откуда следует (1).
Предположим теперь, что S ? 3) (H); тогда S) (S*) = И и S* ? 33 (H). Поэтому если у ? в) ((ST)*), то
(6) (Tx, S*y) = (STx, у) = (х, (STY у)
для всех х ?S) (ST). Следовательно, S*y ?S) (T*) и потому y?S)(T*S*). Таким образом, Sj ((ST)*) с S) (T*S*), и для завершения доказательства остается воспользоваться включением (1)
372 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Поскольку Ts a T2 с T1, отсюда следует, что оператор T2 является самосопряженным расширением симметрического (но не самосопряженного) оператора T3 и что оператор T1 является расширением оператора T2, но не является симметрическим.
Докажем утверждения (2). Заметим сначала, что если / ? S) {Тк)> g?S)(Tm) и ? + m = 4, то
і і
(3) {Tj, g) = I ms =¦1 f W) = if, Tmg),
о о
ибо при выполнении указанных условий / (1) g (1) = / (0) g (0). Отсюда следует, что Tn cz Tl, или
(4) T1CzTl, T2CiTl, T3CzTl Пусть теперь g ?S)(T*k) и <p = T*kg- Положим
X
ф (X) = J ф.
0
Тогда для / 6 S) (Tк)
і і
(5) $ <7'ї=ОУ, g) = (f, ф) = /(1)фТГ)-$/'Ф:
о о
Если /г=1 или 2, то подпространство S) (Tk) содержит ненулевые постоянные, так что из (5) следует, что ф (1) = 0. Если же k = 3, то /(1) = 0. Поэтому в любом случае
(6) ig-Ф ZSl(T^.
Так как Sl(T)) = L2, то ig = ф, если k=\; а так как в этом
случае Ф (1) = 0, то g?S)(T.a). Следовательно, Г*сгГ3.
Если k — 2 или 3, то Si (Tk) состоит из всех тех функций
і
и?&, для которых Jw = O. Поэтому
(7) ° Sl(T2) = St(Ts) = Y±1
где Y — одномерное подпространство пространства L2, состоящее из всех постоянных функций, так что из (6) следует, что функция ig—ф постоянна. Таким образом, функция g абсолютно непрерывна и g'?L2, так что g^S)(T1). Следовательно, TIcZT1.
Если ^ = 2, то ф(1) = 0; поэтому g(0) = g(l) и g ^S)(T2). Таким образом, TIcT2, и доказательство окончено.
Перед тем как обратиться к более обстоятельному изучению взаимоотношений между симметрическими и самосопряженными, операторами, мы приведем пример другого рода.
13.5. Пример. Пусть, как и в предыдущем примере, H = L2> определим оператор D (скажем, на S)(Tx); сейчас не так важно»
ГЛ. 13. НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
373
что именно берется в качестве области определения), полагая D/ = /', и пусть (Mf) (t) = if (/). Тогда (DM — MD) f = f, или
(1) DM-MD=I,
где /—тождественный оператор на области определения оператора DM — MD (если считать, что S)(D) = S)(T1), то область определения оператора DM—MD совпадает с S)(T,)).
Таким образом, единичный оператор представлен в виде коммутатора двух операторов, из которых лишь один ограничен. В квантовой механике возникает вопрос о возможности представления единичного оператора в виде коммутатора двух ограниченных операторов на пространстве H. Ответ отрицателен, причем не только для 93 (H), но и для любой банаховой алгебры.
І 3.6. Теорема. Пусть А—банахова алгебра с единицей е. Если x Z А и у Z А, то ху—ухфе.
Нижеследующее доказательство, принадлежащее Виландту, не использует даже полноты алгебры А.
Доказательство. Допустим, что ху—ух = е. Предположим, что для некоторого /2^1
(1) хпу—ухп = пхп~1фО
(заметим, что при/г =1 это условие выполняется). Тогда х" Ф 0 и
хп+1у— yxn+1 = хп (ху—ух) + (хпу—ухп)х = = хпе-\-пхп~1X = (U+ \)ХпфО,
так что по индукции заключаем, что условие (1) выполняется для всех п. Из (1) следует, что для любого целого положительного п
п Il Il = Il х»у-ух* ||< 2 Il х" (І Il у |К 2 II X"-1 II II X Il \у ||, или я ^2 И я И И #||, что, очевидно, невозможно. Q
Графики и симметрические операторы
13.7. Графики. Если Я— гильбертово пространство, то HxH также можно превратить в гильбертово пространство, определяя скалярное произведение двух элементов {а, Ь\ и \с, d) пространства HxH равенством
(1) ({а, Ъ\, {с, d)) = (a, с) + (Ь, d),
где в правой части фигурируют скалярные произведения элементов пространства Я. Оставим в качестве упражнения проверку того, что выполняются все условия, перечисленные в п. 12.1.
374 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
В частности, норма в пространстве HxH определяется так:
