Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
Tx = ТЕ (со) х = Е (со) Tx,
т.е. Тх?М. То же самое справедливо в отношении M'.
Поэтому M и M'—инвариантные подпространства для А. Кроме того, M' = M1 и H = MQ)M'.
По тем же соображениям каждое разбиение пространства А на конечное или счетное семейство попарно не пересекающихся борелевских множеств порождает разложение пространства Я на взаимно ортогональные подпространства, инвариантные относительно А.
Не известно, обладает ли нетривиальным инвариантным подпространством каждый (не обязательно нормальный) оператор TZ^(H), если Я—бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство.
350 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБрЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Собственные значения нормальных операторов
Если оператор T ?33(11) нормален, то его собственные значения тесно связаны с его спектральным разложением (теорема 12.29). Мы выясним эту связь, используя следующий результат,, основанный на применении функционального исчисления.
12.28. Теорема. Пусть E—спектральное разложение нормального оператора T ?33(H). Если f?C(o(T)) и g)0 =/_1(0), то
(1) сАР (/ {T)) = 9i (E (со0)).
Доказательство. Пусть g (X) = 1 на со0 и g (X) = 0 в остальных точках множества о (T). Тогда fg^—О, так что / (T) g(T) = 0.. Так как g (T) = E (со0), то отсюда следует, что
(2) _ SL(E(U0)) <= JT(f(T)). _
Если со—дополнение к со0 в с (T), то со можно представить в виде объединения попарно не пересекающихся борелевских множеств со„ (п = 1, 2, 3, ...), каждое из которых находится на положительном расстоянии от со0. Положим
( IJf(X) на (і)я,
(3) fn(b) = { п /тл v ' т \ / у Q в остальПых точках на о (T).
Тогда /„ — ограниченная борелевская функция на 0(7") и
(4) L(T) f (T) = E (g)71) (/1=1,2,3, ...).
Из равенства (4) следует, что E (соя) х = 0, если /(T)X = O-Так как отображение со —> E (со) х счетно-аддитивно (предложение
12.18), то отсюда вытекает, что ? (со) X = O. Но E (со) -f- E (со0) = I, Поэтому E (со0) х = х. Мы доказали, что
(5) Jf (/ (T)) а ?А (E (со0)).
Теперь (1) получается из сопоставления (2) и (5). Щ
12.29. Теорема. Пусть E—спектральное разложение нормального оператора T ?33(H), Х0?о(Т) и E0 = E({X0}). Тогда
(a) Jf (T-X0I) = ?А (E0);
(b) X0 служит собственным значением оператора T тогда и. только тогда, когда Е0ф_0;
(c) каждая изолированная точка спектра о (T) является собственным значением оператора Т;
(d) кроме того, если множество G(T) = {X1, X2, X3, ...} счетно (или конечно), то каждый вектор х?Н однозначно представляется в виде
со
X ~ S Xjj
1=1
где TXi = X1Xi. При этом х,-_]_Ху, если іф\.
Утверждения (Ь) и (с) объясняют термин точечный спектр
ГЛ. 12. ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 351
оператора T', который относится к множеству всех собственных значений этого оператора.
Доказательство. Утверждение (а) получается непосредственно из теоремы 12.28, если положить там f (X) = X—X0. Ясно, что утверждение (Ь) вытекает из (а). Если X0 — изолированная точка множества а (T), то {Х,0[ есть непустое открытое множество в 0-(7"). Поэтому Е0Ф0 в силу утверждения (Ь) теоремы 12.22. Следовательно, утверждение (с) вытекает из (Ь).
Для доказательства утверждения (d) рассмотрим проекторы Ei = E({Xi\), t = l,2, 3, ... . Если X1—предельная точка множества о* (T), то проектор E1 может быть нулевым или ненулевым. Однако в любом случае проекторы E1 имеют взаимно ортогональные образы. Из счетной аддитивности отображения со—*Е (со) х (предложение 12.18) следует, что
2 E1X = E(G(T))X = X (XZH). i = i
Этот ряд сходится по норме пространства Н. Поэтому мы получим искомое представление, если положим X1 = E1X. Единственность представления вытекает из ортогональности векторов xh а условие TXi = X1Xi вытекает из утверждения (а)1). Щ
12.30. Теорема. Нормальный оператор T Z !В (H) тогда и только тогда является компактным, когда выполняются два следующих условия:
(a) ст (T) не имеет предельных точек, за исключением точки 0;
(b) если ХфО, то d\mN(T—а7)< оо.
Доказательство. Необходимость не связана с нормальностью: если T — компактный оператор, то условия (а) и (Ь) выполняются в силу теоремы 4.25.
Предположим теперь, что условия (а) и (Ь) выполняются. Пусть {Xi} — последовательность всех ненулевых точек спектра •о (T), причем I 1 ^ I 1 ^ ... . Определим функции fn, полагая fn(X) = X, если X = Xi и і^n, а в остальных точках множества G(T) положим fn (X) = O. Если (как в теореме 12.29) E1 = E ({Х{}),
то L (T) = X1E1+...+XnEn.
Так как dim 5? (E;) = dim off (T—X1-I) < оо, то каждый из операторов In(T) будет компактным. Поскольку \Х—fn (X) | ^ | Xn+11
г) Единственность здесь надо понимать в том смысле, что по вектору X Z H однозначно определяются его проекции на подпространства (Ej) и ло этим проекциям он однозначно восстанавливается. Это, конечно, не означает, что каждый вектор единственным образом представляется в виде суммы ряда по собственным векторам. Например, если оператор T нулевой, то каждый вектор собственный. Вместе с тем утверждение (d) позволяет сделать заключение, что в пространстве H существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов.— Прим. ред.
